第4章 區(qū)分抽象與還原

你也許會(huì)感到疑惑，我們?cè)谛W(xué)學(xué)習(xí)加法時(shí)，老師通常會(huì)用非常生動(dòng)的例子教我們：左手一個(gè)蘋果，右手一個(gè)蘋果，合在一起是兩個(gè)蘋果，所以1+1=2。這比基數(shù)“1”的后繼是基數(shù)“2”更容易理解，難道小學(xué)老師真的教錯(cuò)了嗎？

要解釋清楚這個(gè)問題，需要引入兩個(gè)重要的概念：數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)還原。

數(shù)學(xué)抽象反映了數(shù)學(xué)研究的一種核心素養(yǎng)，它是指通過對(duì)數(shù)量關(guān)系和空間形式的抽象得到數(shù)學(xué)對(duì)象及其運(yùn)算規(guī)律的過程。人類從“一雙翅膀”“一對(duì)情侶”“兩頭野獸”的觀察中，抽象出自然數(shù)“2”；在屈指計(jì)數(shù)的過程中抽象出“1+1=2”，這些都屬于數(shù)學(xué)抽象的范疇。

數(shù)學(xué)還原是指人們以生活中的具象對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象及其運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行解釋和還原的過程。小學(xué)老師所教的“左手一個(gè)蘋果，右手一個(gè)蘋果，合在一起是兩個(gè)蘋果，所以1+1=2”本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)還原。

兩者不是一回事嗎？當(dāng)然不是。

首先，兩者產(chǎn)生的順序不同。從邏輯上講，數(shù)學(xué)抽象的產(chǎn)生先于數(shù)學(xué)還原，先有抽象形成理論，后有理論的還原。

其次，并非所有的數(shù)學(xué)理論都能夠被還原。數(shù)學(xué)研究起步于對(duì)數(shù)量關(guān)系和空間形式的抽象，可一旦數(shù)學(xué)形成了自己的結(jié)構(gòu)和體系，就立刻顯示出與現(xiàn)實(shí)世界明顯的隔離。數(shù)學(xué)中有很多內(nèi)容是借由體系自由生長出來的，未必能用生活中的實(shí)例加以解釋。用一句形象的話來概括，數(shù)學(xué)來源于生活，但高于生活。

我們?nèi)匀灰宰匀粩?shù)的加法為例說明抽象的數(shù)學(xué)處理與生動(dòng)的數(shù)學(xué)還原有何不同。