2.1.1　常微分方程

微分方程是聯(lián)系自變量、未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式。如果微分方程的未知函數(shù)（）只含有一個自變量（如時間或空間），則此類方程被稱為常微分方程（ordinary differential equation, ODE )：

其中，表示含有自變量和未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的已知函數(shù)。如果一個方程不含有未知函數(shù)關(guān)于自變量的導(dǎo)數(shù)，則不能稱之為微分方程。

常微分方程被廣泛用于現(xiàn)實問題的數(shù)學(xué)建模。電阻-電容電路的基爾霍夫定律（Kirchhoff's law）、自由落體的運動方程、捕食者與獵物的種群競爭方程等均可用常微分方程（組）來描述，如圖2.1所示。在微分方程中，未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)被稱為該微分方程的階數(shù)。基爾霍夫定律中未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)為，即該方程為二階常微分方程。以此類推，自由落體的運動方程為二階常微分方程，種群競爭方程為一階常微分方程組。

圖2.1　3種常見的常微分方程

為了簡化符號表示，在后續(xù)表述中做以下規(guī)定：

在式(2.2)中，如果函數(shù)是未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的一次有理整式(多項式)，則稱該微分方程為階線性微分方程，否則稱之為非線性微分方程。假設(shè)為因變量的已知函數(shù)，可將線性微分方程整理為一般表達(dá)形式：

當(dāng)函數(shù)時，式(2.3)為齊次，否則為非齊次。

式(2.2)的解分為顯式解和隱式解。如果將函數(shù)代人微分方程使之成為恒等式，則稱為該方程的顯式解；如果微分方程的解以關(guān)系式的形式展現(xiàn)，則稱關(guān)系式為該方程的隱式解。例如，和為一階微分方程

的顯式解，為該方程的隱式解。

如果為階常微分方程[式(2.2)]的解，且含有個相互獨立的任意的常數(shù)，則稱其為該方程的通解。在現(xiàn)實問題中，往往需要獲得微分方程模型的特定解。此時，方程的解必須滿足定解條件，也為特定數(shù)值。常見的定解條件包含初值條件和邊界條件。求滿足初值條件的解的問題稱為初值問題，或柯西問題（Cauchy problem）；求滿足邊界條件的解的問題稱為邊值問題。

以初值問題為例，對于式(2.2)，其初值條件指當(dāng)自變量在定義域內(nèi)取某特定值時，未知函數(shù)及其低于方程階數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足以下關(guān)系：

此處為給定的個常量或函數(shù)。可以看出，初值條件的數(shù)量應(yīng)與微分方程的階數(shù)相同；而初值條件取不同常量時，方程特解也隨之變化。

綜上所述，當(dāng)對現(xiàn)實問題進(jìn)行建模時，一個有效的數(shù)學(xué)模型不僅要包含微分方程，也要包含定解條件。