2.1.2　偏微分方程

偏微分方程比常微分方程擁有更寬廣的應(yīng)用范疇，是流體力學(xué)、量子物理、電磁學(xué)、生物化學(xué)、傳染病動(dòng)力學(xué)等諸多領(lǐng)域的主流數(shù)學(xué)建模形式。不同于常微分方程，偏微分方程中的未知函數(shù)往往含有兩個(gè)及以上的自變量。其中，時(shí)間和空間是針對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題所建立的數(shù)學(xué)模型中常見(jiàn)的兩類自變量。在偏微分方程中，未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為該微分方程的階數(shù)。二階偏微分方程是應(yīng)用極為普遍的偏微分?jǐn)?shù)學(xué)模型，也是本書(shū)的重點(diǎn)研究對(duì)象之一。

為了簡(jiǎn)化符號(hào)表示，在后續(xù)表述中做如下規(guī)定：

此處未知函數(shù)下角標(biāo)的前后順序表示求導(dǎo)的先后順序。

當(dāng)偏微分方程的最高階導(dǎo)數(shù)為線性格式時(shí)，該方程可稱為擬線性偏微分方程。以含有兩個(gè)自變量的二階偏微分方程為例，可將其寫為如下形式：

根據(jù)最高階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)的相互關(guān)系，式(2.6)可分為 3 種類型，如表2.1所示。

不同類型的偏微分方程，其解呈現(xiàn)出不同的性質(zhì)。在實(shí)際應(yīng)用中，最高階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)可能都是自變量的函數(shù)。因此，一個(gè)偏微分方程可能在不同的空間位置上呈現(xiàn)出不同的方程性質(zhì)。

在實(shí)際應(yīng)用中，往往需要通過(guò)確定定解條件來(lái)獲得現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的特定解。初值條件（多指時(shí)間維度）或邊界條件（多指空間維度）的數(shù)量需與對(duì)應(yīng)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)相同。表2.1 中的波方程含二階時(shí)間導(dǎo)數(shù)，故需要兩個(gè)初值條件；熱傳導(dǎo)方程僅需要一個(gè)初值條件；而拉普拉斯方程由于沒(méi)有時(shí)間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，故不需要初值條件。

邊界條件可以分為 3 種類型。令代表空間自變量取值空間的邊界表面（如含有兩個(gè)空間自變量則代表邊界曲線），為邊界條件中的已知信息。當(dāng)微分方程的解在邊界表面為已知函數(shù)時(shí)，稱之為第一類邊界條件（也稱狄利克雷邊界條件，Dirichlet boundary condition )：

當(dāng)在邊界表面向外法向導(dǎo)數(shù)為已知函數(shù)時(shí)，可以得到第二類邊界條件（也稱諾伊曼邊界條件，Neumann boundary condition）：

第三類邊界條件（也稱羅賓邊界條件，Robin boundary condition）為前兩類邊界條件的線性組合，即在邊界表面的函數(shù)值和向外法向?qū)?shù)的線性組合為已知函數(shù)：

綜上所述，微分方程的解由方程和定解條件的類型所決定。不同類型下，會(huì)呈現(xiàn)截然不同的性質(zhì)，也需要特定的數(shù)值方法予以求解。因此，對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行建模時(shí)，不僅需要選擇合理的微分方程，也需要選取合適的定解條件。