1.1.2　函數的基本性質

為了更清楚地看出函數的形式，我們常常會繪制函數的圖像.繪出圖像后會發現，有些函數是對稱的，其中包括軸對稱和中心對稱.特別地，將函數圖像的對稱軸選為 軸，或者將對稱中心選為坐標原點，就可以得到奇函數與偶函數的概念.

● 若函數 的圖像關于 軸對稱，即

，

則稱函數 為偶函數，例如函數 .在這里可以思考，偶函數 的導數 是偶函數嗎？為什么？

● 若函數 的圖像關于坐標原點對稱，即

，

則稱函數 為奇函數，例如函數 .在這里可以思考，奇函數 的導數 是奇函數嗎? 為什么?

有時候，函數的圖像不一定是恰好關于 軸對稱，或者恰好關于原點對稱的.例如，若函數滿足

，

則 是該函數圖像的對稱軸；若函數滿足

，

則 是該函數圖像的對稱中心.

真題1.1 (取自 2021 年新高考 I 卷[2])　已知函數 是偶函數，則 .

---

[2]　編者注：為了提升閱讀體驗并簡化表達，本書中的高考試題名稱采用了簡稱形式，例如將“2023 年高考全國乙卷理科數學”簡稱為“2023 年乙卷理數”，將“2020 年高考 II 卷文科數學”簡稱為“2020 年 II 卷文數”，以此類推.這樣既保持了信息的真實性，又提高了文本的可讀性.

解答　根據偶函數的定義，令

，

對比系數，解得 .

真題1.2(取自 2021 年新高考 II 卷)　寫出一個同時具有下列性質 （1）（2）（3）的函數 : .

（1）；

（2）當 時，；

（3）是奇函數.

解答　考慮函數 ，可以驗證它滿足 .

真題1.3(取自2023年乙卷理數)　已知函數 .是否存在 ，使得曲線 關于直線 對稱，若存在，求 的值，若不存在，說明理由.

解答　令 ，由 ，解得.考慮到函數的定義域關于直線 對稱，取 .接下來，令，即

.

經檢驗 滿足題意.　　■

另外，有些函數有可能會有些函數值“重復出現”，或者用更數學一點的語言來說，會出現“周期性”.

● 若存在 ，使得函數 滿足

則稱函數 為周期函數，并稱 為函數 的周期.例如函數 或其他的三角函數.事實上，我們知道 是周期函數，而一個非周期函數的例子是 .

高考中，對于一些定義復雜的函數，有時候需要通過對稱性和周期性巧妙地解題.

真題1.4（取自 2021 年新高考 II 卷）　已知函數 的定義域為 為偶函數， 為奇函數，則 .

A．

B．

C．

D．

滿足 為偶函數，為奇函數的函數 的簡圖

解答　根據 為偶函數，知 關于直線 對稱；再根據 為奇函數，知 為奇函數，從而 ，并且 關于點 對稱.據此，可以畫出 的大致圖像，如上圖所示.

根據圖像，可以看出其是周期 的函數，并且 ，因此 B 選項正確.　　■