1.1.3　函數的零點問題

對于函數 ，稱使得 成立的 為 的零點.一般來說，高中所研究的函數都是初等函數，它們都是連續的，或者在某些區間上是連續的.對于閉區間上的連續函數，有零點定理.

定理1.1(連續函數的零點定理)　設 在 上連續，且 ，則存在 ，使得 .

從圖像上看，這個定理的結果是顯然的.然而在高中階段，暫時未給出該定理的證明.但是在高考中，該定理非常常用，特別是在有關導數的大題中[3].

[3]　常有人覺得高中數學的內容安排不合理，這便是一個例子.

● 如果 是嚴格單調遞增的連續函數，且 ，則存在唯一的 ，使得 .反過來，如果 是嚴格單調遞減的連續函數，且 ，則存在唯一的 ，使得 .在判斷零點的個數時，需要用到這個結論.這說明了研究函數單調性的重要性，而研究函數單調性的一個重要工具就是導數.

● 如果 是連續函數，且 ，當 時，或 ，則存在 ，使得 .然而，在高考中，我們無法使用所謂的“極限”概念，通常可以找到一個 ，使得 ，再應用我們已知的零點定理，存在 ，使得 ，便得到了零點的存在性.

在第二種情形中，如果讀者學習過極限，就會知道這樣的 是一定存在的，難點在于如何取出合適的 ，這在高考壓軸題的研究中被稱為“取點”.為了取出這樣的點，往往需要使用函數不等式，如最常用的 ，當然有時候只要用 就夠了，這被稱為“放縮”.這將在后面簡單介紹.

另外，有時候處理的零點問題并不會直接給出函數 的形式，而會給出一個帶有函數的方程，比如 ，這時候可以構造函數 ，則 等價于 .高考壓軸題中，出現的函數形式會比較復雜，甚至常常帶有參數，但是本質上仍然是零點問題.