1.1.1　定義與常用函數

高中的課本按照如下方式定義函數：設、是非空的數集（需要注意，所謂的“函數”實質上是數集到數集的映射，“數集”指實數集合 的子集），如果按照某個確定的對應關系 ，使對于集合 中的任意一個數 ，在集合 中都有唯一確定的數 和它對應，那么就稱 為從集合 到集合 的一個函數 (見下圖)，記作 .函數的本質是一個映射，因此也可以記為

.

函數的定義示意圖

在函數的定義中，有一些需要注意的概念：

● 叫作自變量，叫作因變量或函數值；

● 的取值范圍 叫作函數的定義域；

● 函數值的集合 叫作函數的值域；

● 將點集 繪制在平面直角坐標系 中，所得的圖像叫作函數的圖像.繪制出函數的圖像，并進行“數形結合”，是常用的解題思路.

函數的定義比較抽象，需要理解，但通常在高考中不會直接考查.高考中較為重視的是一些常用函數性質的考查，為此需要介紹基本初等函數，主要包括以下幾種.

● 初中已經接觸過的一次函數 、二次函數 ，進一步還可以考慮三次函數 .高考中的一些題目會涉及三次函數，這通常需要借助導數.一般地，對于正整數 ，函數

稱為多項式函數，叫作多項式函數的次數.

● 初中已經接觸過的反比例函數 、根式函數 .另外，一般地，對于實數 ，函數

稱為冪函數， 的取值范圍與 有關， 叫作冪函數的冪.冪函數的性質也需要非常熟悉.

● 初中簡單介紹，而在高中給出了嚴格定義的正弦函數 、余弦函數 、正切函數 ，其中 .另外，還有以下函數：

.

這幾個函數在高考中不會出現，但是在將來的數學課和實際應用中較為常見.一般地，對于實數 ，函數

稱為三角函數， 叫作三角函數的振幅， 叫作三角函數的頻率， 叫作三角函數的相位， 叫作三角函數的周期.三角函數在物理學和工程中常用.

● 設實數 且 ，函數

稱為指數函數.對應的反函數

稱為對數函數.若取 (自然常數[1] ），則對數函數記作 .指數函數 和對數函數 非常重要，有特別的性質，在高考中最常考查.

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[1]　自然常數 是怎么來的？我將在后文簡要介紹.