1.2.2　取對數求導法與隱函數求導法*

有了復合函數的運算法則后，可以引出兩種常用的特殊求導方法.這兩種方法一般來說會在高等數學中介紹，但是高中生完全可以理解，并且有時候非常好用.

首先是取對數求導法.考慮到有時候函數的乘法運算較多，或者指數較為復雜，可以考慮通過取對數的方式，將乘法轉化為加法，將指數項轉化為乘法.所謂的取對數求導法是指，在函數 的等式兩邊取對數，得

.

若此時等式右邊的導數容易求出，記 ，根據復合函數的導數的運算法則可得

，

從而計算得到 .需要注意，取對數運算是非常常用的，它可以將指數項轉化為乘法，進一步將乘法轉化為加法.高考中的一些代數變形問題，都與對數有關.

例1.4　設函數 ，求 .

解答　對 取對數，可得 ，等式兩邊對 求導，可得

，

因此 .　　■

有了復合函數的運算法則后，還可以推出隱函數求導法.所謂的隱函數，指的是函數并沒有顯式的表達，而是通過方程或者其他形式確定了函數關系.

例如設橢圓的方程為 ，對于其上面的一點 ，假設 ，則在該點附近可以通過橢圓方程確定隱含的函數關系 ，并且是唯一的[4].更準確地說，有 或 ；至于是前者還是后者，需要結合 的位置來判斷.

---

[4]　這是通過分析學中的隱函數定理保證的，敘述起來較為復雜.

例1.5　求橢圓 在 處的切線方程.

解答　要求出 處的切線方程，可在等式兩邊同時對 求導，得

，

代入 ，解得 ，從而切線方程（有時候在圓雉曲線中也被稱為極線方程) 為 .　　■

這是一個解析幾何中非常常用的結論，形式上也非常像橢圓方程，只是將 換成 ，將 換成 而已.類似地，對于雙曲線 ，可以求出其在（ ）處的切線方程為 .對于拋物線 的情形，讀者可自行推導.