1.3　導數的應用

1.3.1　單調性與極值點

首先，大家熟知的是，可以借助導數判斷函數 的單調性.

● 若 ，則 單調遞增；

● 若 ，則 單調遞減；

● 若 ，則 的單調性需要進一步判斷.

對于一些比較復雜的函數而言，通過求導數判斷單調性，比直接通過定義判斷來得容易得多.

例1.6　設函數 ，判斷 的單調性.

解答　計算得 ，有 . 當 時 ，當 時 ，故 在 內單調遞減，在 內單調遞增.　　■

我們知道，函數的最大值和最小值，指的是函數值的最大取值和最小取值.另外，高中教材也給出了函數的極大值和極小值的概念.許多人對函數的極大值的理解是“導函數有變號零點”，即導函數存在某個零點 ，且導函數圖像在 軸上穿過零點對應的點 .然而，極值點的嚴格定義是函數在某個開區間上的最值點，這個是大家很容易忽略的.

定義 1.2 (極值點與極值)　函數 在某個開區間 上的最大值點稱為極大值點，最小值點稱為極小值點，對應的函數值分別稱為極大值和極小值.

通過上面的介紹，我們知道，導數可以用于判斷函數的單調性和極值，可以給出如下的極值點的判斷方法:

● 若 ，且在 附近有 ，即在 附近有

則 為 的極小值點，為 的極小值；

● 若 ，且在 附近有 ，即在 附近有

則 為 的極大值點，為 的極大值.

事實上，如果 ，則 與 同號，即當 時 ，而當 時 ，這就說明了 是 的極小值點.在做題時，有時候會出現多個式子相乘后與 0 比較大小的不等式，這個時候也應該用類似的方法.

再進一步，如果函數的二階導數存在，可以進一步對函數求二階導數，并有如下的判斷方法:

● 若 ，則 為 的極小值點；

● 若 ，則 為 的極大值點.

以第一種情況為例，如果 ，那么 應該在 附近單調遞增，這使得當 時有 ，而當 時有 ，因此 為 的極小值點.

例1.7　設函數 ，求 的極小值點和極小值.

解答　根據上例，知 是 的極小值點，極小值 .　　■

許多高考題只需要對函數的單調性進行分析就可以解決，見下面的真題.

真題1.5(取自2020 年 II 卷文數)　已知函數 .

（1）若 ，求 的取值范圍；

（2）設 ，討論函數 的單調性.

解答　（1）根據 ，令 ，其中 ，計算得

，

因此 在 內單調遞增，在 內單調遞減..因此 的取值范圍是 .

（2）此時 ，其中 且 ，計算得

.

令 ，計算得

,

因此 在 內單調遞增，在 內單調遞減，，從而 ，這說明了 在 和 內單調遞減.　　■

下面的題目涉及極值點，但是因為函數較為復雜，難度較大.

真題1.6(取自 2018 年 III 卷理數)　已知函數 .

（1）若 ，證明：當 時， ；當 時， ；

（2）若 是 的極大值點，求 .

第一問不難，只需要判斷函數 的單調性即可.在后面我們會指出，這一問涉及的是一個非常重要的不等式；第二問有多種做法，一方面可以采取多次求導的方式，另一方面可以令

，

則當 時，的極大值點也是 的極大值點，從而簡化了求解過程.

解答　（1）當 時，，計算得

，

因此 在 內單調遞減，在 內單調遞增，，因此 在 內單調遞增.注意到 ，因此當 時 ，而當 時 .

（2）若 ，則由 （1）知，當 時，有

，

此與 是 的極大值點矛盾.以下設 ，當 時，有 ，令

，

則 ，當且僅當 是 的極大值點時，是 的極大值點.計算得

.

考慮函數 ，其中 ，則 ，由此進行討論.

（ⅰ）若 ，則

，

從而 在 內單調遞增，在 內單調遞減，是 的極大值點；

（ii）若 ，則 在 0 附近單調遞增[5]，此與 是極大值點矛盾；

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［5］　這里 是二次函數，若不放心，可以利用求根公式求出其零點，并且結合圖像判斷正負.

（iii）若 ，則 在 0 附近單調遞減，此與 是極大值點矛盾.綜上，.　　■