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1.2 導數的定義與性質

1.2.1 定義與基本性質

在上一節中,我們介紹了函數的定義和基本性質.接下來,我們再介紹導數.導數實質上是“微積分”一詞中“微分”的部分,在研究函數的性質方面有重要作用.

高中數學繞過“極限”的定義講解了導數的定義.在這里,簡單提一下極限的性質:如果 是連續函數,則

.

例如,當 時, .這在求導數時有一定的用處.

定義 1.1 (導數) 設函數 附近有定義,如果極限

存在,則稱 可導,并稱上述極限值為 處的導數,記作 .函數 稱為函數 導函數,簡稱導數.

接下來看一個涉及基本函數求導的簡單例子.

例1.1 用定義求函數 的導數.

解答 計算得

.

因此,函數 的導數為 .  ■

做完這題之后,可以再試一下,如何用定義求函數 的導數.事實上,容易通過基本函數的求導公式來得到該函數的導數,但是也千萬別忘了定義.當然,如果要用定義來求函數 或者 的導數會較為麻煩.更一般地,有下面的常用函數的導數表.

常用函數的導數表

圖片表格

在了解了導數的定義之后,我們可以來探討導數的一些基本性質.如果我們有兩個可導的函數,對其進行組合,所得的函數是否還是可導的?更進一步,能否求出它們的導數?這是我們首先要提到的導數的性質,即導數也有四則運算公式.

定理1.2(導數的四則運算公式) 設函數 的導數為 .

(1)

(2)

(3)

(4)若 ,則 .

這些公式都是比較基本的,需要熟背下來.前兩個公式的證明是容易的;而后兩個公式的證明,需要應用一些分析學的技巧.考慮到高中階段尚未給出極限的定義,導數的四則運算公式是無法嚴謹證明的.而不少函數的求導都需要應用到四則運算公式.

例1.2 設 ,求 .

解答 注意到 ,因此

.  ■

接下來,我們介紹復合函數的求導公式.

定理1.3 設函數 可導,對于復合函數 ,有

.

該定理的證明較為復雜,但是記憶是比較容易的.為了方便理解該公式,我們在此引入大學數學中常用的萊布尼茨記號,即將 求導數表示為 ,則上述公式即為

.

需要注意的是,上式只是在形式上說明了復合函數求導公式的合理性,并不能用于證明復合函數的求導公式.對復合函數的求導公式的應用需要非常熟悉,下面是一個例子.

例1.3 設函數 ,求 .

解答 首先對外層求導,可以得到 ;再對內層求導,可以得到 .因此

  ■

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