1.2　導數的定義與性質

1.2.1　定義與基本性質

在上一節中，我們介紹了函數的定義和基本性質.接下來，我們再介紹導數.導數實質上是“微積分”一詞中“微分”的部分，在研究函數的性質方面有重要作用.

高中數學繞過“極限”的定義講解了導數的定義.在這里，簡單提一下極限的性質：如果 是連續函數，則

.

例如，當 時， .這在求導數時有一定的用處.

定義 1.1 (導數)　設函數 在 附近有定義，如果極限

存在，則稱 在 處可導，并稱上述極限值為 在 處的導數，記作 .函數 稱為函數 的導函數，簡稱導數.

接下來看一個涉及基本函數求導的簡單例子.

例1.1　用定義求函數 的導數.

解答　計算得

.

因此，函數 的導數為 .　　■

做完這題之后，可以再試一下，如何用定義求函數 的導數.事實上，容易通過基本函數的求導公式來得到該函數的導數，但是也千萬別忘了定義.當然，如果要用定義來求函數 或者 的導數會較為麻煩.更一般地，有下面的常用函數的導數表.

常用函數的導數表

在了解了導數的定義之后，我們可以來探討導數的一些基本性質.如果我們有兩個可導的函數，對其進行組合，所得的函數是否還是可導的？更進一步，能否求出它們的導數？這是我們首先要提到的導數的性質，即導數也有四則運算公式.

定理1.2(導數的四則運算公式)　設函數 和 的導數為 和 .

（1）；

（2）；

（3）；

（4）若 ，則 .

這些公式都是比較基本的，需要熟背下來.前兩個公式的證明是容易的；而后兩個公式的證明，需要應用一些分析學的技巧.考慮到高中階段尚未給出極限的定義，導數的四則運算公式是無法嚴謹證明的.而不少函數的求導都需要應用到四則運算公式.

例1.2　設 ，求 .

解答　注意到 ，因此

.　　■

接下來，我們介紹復合函數的求導公式.

定理1.3　設函數 和 可導，對于復合函數 ，有

.

該定理的證明較為復雜，但是記憶是比較容易的.為了方便理解該公式，我們在此引入大學數學中常用的萊布尼茨記號，即將 對 求導數表示為 ，則上述公式即為

.

需要注意的是，上式只是在形式上說明了復合函數求導公式的合理性，并不能用于證明復合函數的求導公式.對復合函數的求導公式的應用需要非常熟悉，下面是一個例子.

例1.3　設函數 ，求 .

解答　首先對外層求導，可以得到 ；再對內層求導，可以得到 .因此

　　■