1.2.5 1980年以后的時期

反饋控制理論在20世紀80年代還是經歷了重大的變化，無論是對問題的認識，或是所用的方法，都有重要的進展。這里有兩個主要的推動因素，一是要解決模型的不確定性問題，即魯棒性問題；二是解決多變量控制問題已有的方法出現了缺陷。

隨著多變量系統的發(fā)展，逐漸暴露出20世紀50年代形成的反饋系統理論中的一個問題，即強調了響應特性，忽視了反饋特性。70年代Rosenbrock將頻域法推廣用于多變量系統的設計，使頻域法又開始蓬勃發(fā)展。然而好景不長，INA法很快遇到了魯棒性的挑戰(zhàn)。1981年前的多變量設計一直是以解耦作為設計目標。其實解耦是一種響應特性：每個輸出量只受一個相應的輸入量控制?？墒墙怦钤O計后的系統其穩(wěn)定性（魯棒穩(wěn)定性）并不一定好。長期以來在設計中使用的階躍響應特性也是響應特性。反饋特性是指系統的穩(wěn)定性（包括魯棒穩(wěn)定性）、靈敏度和對擾動的抑制性能等，這些性能只有通過反饋才能對其進行改動或改善。而響應特性則可以不通過反饋，僅用前置濾波等開環(huán)控制的手段就可以對其進行改變。其實反饋特性才是為什么需要采用反饋控制的真正目的。當年Black發(fā)明負反饋放大器時就是要利用反饋來減少畸變。Black考慮的正是靈敏度這個反饋特性。但是在隨后形成的理論中卻很少談及這一點，更不用說其他的反饋特性了。這是因為經典理論的基礎（或者說背景）是Black的反饋放大器和Hazen的解算裝置中的伺服系統。當年的Black或Hazen都沒有過處理現今復雜的控制工程問題的經驗。

1981年J.C.Doyle及G.Stein和M.G.Safonov發(fā)表文章“Multivariable feedback design: concepts for a classical/modern synthesis”和“Feedback properties of multivariable systems: the role and use of the return difference matrix”于IEEE Transactions on Automatic Control期刊上[1，2]。這兩篇文獻明確指出反饋特性應是反饋系統設計的首要考慮，這是對1950年代就形成的反饋控制理論的一個重要補充。Doyle、Stein還詳細分析了工程中的未建模動態(tài)，給出了魯棒穩(wěn)定條件。這個魯棒穩(wěn)定條件是設計在實際上能否實現（能否調試出來）的一個條件。1989年Stein獲IEEE的首位Bode獎。在頒獎的Bode講座會上，Stein作出了一個很重要的報告，指出控制系統的性能，即靈敏度函數要受到Bode積分的約束，他指出控制系統的一些設計上的困難都可用Bode積分來解釋，并結合X-29戰(zhàn)機駕駛儀的設計實例作了詳細的介紹。Stein的這篇報告，后來由K.J.?str?m推薦，重新發(fā)表于IEEE Control Systems 2003年的第4期上[3]。Stein于1994年被選入（美國）國家工程院。國際自控聯（IFAC）為表彰他在控制系統設計方面的成就，于1999年授予他Nichols獎。

由此可見，控制理論雖然經歷了數十年的發(fā)展，直到1981年才明確反饋控制的目的，以及究竟用什么特性來表示系統的反饋特性，使反饋控制理論走上了正確的發(fā)展道路。

20世紀60年代以LQG最優(yōu)控制理論為代表的現代控制理論，完全依賴于描述被控對象動態(tài)特性的精確數學模型。為解決在處理多變量系統時的魯棒性問題，1980年，加拿大學者Zames在其論文中引入H_∞范數作為目標函數進行優(yōu)化設計，標志著H_∞控制理論的誕生。Zames考慮了一個SISO系統的設計問題：假設干擾信號屬于某一有限能量的已知信號集，要求設計一個反饋控制器，使閉環(huán)系統穩(wěn)定，且干擾對系統的影響最小。要解決這樣的問題，就必須在能夠使閉環(huán)系統穩(wěn)定的所有控制器中選出一個控制器，使之相應的靈敏度函數的H_∞范數最小。直到1984年，Francis和Zames才給出了H_∞最優(yōu)化問題最初的解法。但遺憾的是，最初的H_∞控制理論的標準頻域方法在處理MIMO系統時，無法進行數學求解和計算。

H_∞范數優(yōu)化能有效地處理非結構不確定性問題，而對于結構不確定性問題則可能產生保守性。1982年，Doyle將結構奇異值引入到MIMO系統進行分析。結構奇異值理論主要分μ分析和μ綜合。μ分析是解決當模型存在結構不確定性時估計魯棒性能的一種有效的分析工具。1985年，Doyle提出D-K迭代法，將μ分析與H_∞優(yōu)化結合，著眼于分散的不確定性可集中為一個對角陣，產生一種新的魯棒控制方法——μ綜合。

1989年，Doyle等人，發(fā)表論文“State-Space Solutions to Standard H₂ and H_∞ Control Problems”于IEEE Transactions on Automatic Control第8期上，提出完全采用狀態(tài)空間的概念來推導H_∞控制的解的DGKF法，該法的命名由4位作者姓的首字母組成[4]。DGKF法是H_∞控制理論的一個里程碑，對狀態(tài)反饋和輸出反饋都給出了H_∞標準控制問題有解的充要條件，只要求解兩個Riccati方程，所得的控制器公式比較簡單，類似于LQG問題中的分離結構。MATLAB中的H_∞控制器的算法都是以此文獻的基礎來編寫的。

基于Riccati方程的DGKF法是一種解析法，其最優(yōu)解是一條全通特性。因此可以通過指定權函數來實現所要求的性能。H_∞回路成形把經典控制理論與現代H_∞優(yōu)化控制相結合，通過選擇權函數改善開環(huán)奇異值頻率特性，在魯棒性能指標和魯棒穩(wěn)定性之間進行折中，以實現系統的閉環(huán)全通特性。不但能保證系統的穩(wěn)定性，而且還具有魯棒性。H_∞回路成形設計中的對象是用互質因式分解來描述的，而互質因式不確定性又可以較為方便、清晰地描述貼近虛軸的弱阻尼極點的攝動，所以與H_∞控制求解混合靈敏度相比較，H_∞回路成形法常常被用于弱阻尼撓性系統的設計。

隨著控制理論的發(fā)展，非線性系統的分析和控制逐漸成為研究熱點和難點。盡管經歷多年研究，目前仍然沒有通用的方法來分析非線性系統的穩(wěn)定性和性能，就更無法進行非線性系統的穩(wěn)定設計。最初，各種基于Lyapunov或存儲函數（storage function）的分析和綜合方法被提出來。然而沒有易于處理的計算方法和手段來幫助我們進行構建這樣滿足要求的函數。

魯棒控制是非線性控制理論的一個重要分支。非線性系統魯棒控制主要利用Lyapunov理論、耗散理論以及由此發(fā)展起來的H_∞控制方法，直接從非線性系統出發(fā)進行性能分析與控制器設計。耗散理論是基于能量耗散的角度來研究系統，其出發(fā)點和Lyapunov函數理論是相同的，確定耗散性的關鍵也是在于能否求得一個滿足條件的存儲函數。到20世紀90年代以后，非線性H_∞控制成為非線性系統理論研究的一個熱門，它借鑒傳遞函數概念提出了L₂誘導范數，在非線性系統中L₂誘導范數常稱為L₂增益，故習慣上常說的非線性系統的H_∞控制，更確切地說應該是L₂增益控制問題。關于這個控制問題，Van de Schaft作出了很大的貢獻，運用動態(tài)耗散理論，提出一種非線性H_∞狀態(tài)反饋的解決方法，這里討論的是從擾動到性能輸出的L₂增益，所以這樣的問題也稱之為擾動抑制（disturbance rejection）問題。非線性H_∞狀態(tài)反饋就是要求解Hamilton-Jacobi不等式。設計中也可將這個Hamilton-Jacobi不等式轉化為一個特定形式的Hamilton-Jacobi-Issacs（HJI）不等式，目前也沒有統一的解析求解方法。實際上非線性H_∞控制中的Hamilton-Jacobi方程（或不等式）類似于線性系統H_∞理論中的Riccati方程，它將L₂增益和耗散性聯系起來。這樣就可以不用求解不等式，而是通過相關的途徑去構造一個存儲函數來得到L₂增益控制器。這又歸結到函數的構造問題上[5]。

在很多情況下耗散理論的存儲函數就是Lyapunov函數。我們都知道二次型Lyapunov函數，它將矩陣和多項式聯系起來。因此如何構造存儲函數也就是研究多項式。雖然非線性系統是用微分方程描述，但通過泰勒級數展開可將非線性方程表達成多項式的描述形式，階次是1時的多項式就是線性化系統。耗散性中的存儲函數是大于零的，對應于多項式考慮的則是正定性問題。

Parril等人著手于如何構造Lyapunov函數對多項式進行研究，提出了SOS（sum of squares）法，并在此理論研究基礎之上開發(fā)了SOSTOOLS工具箱，這是一個借助第三方來求解SOS規(guī)劃的MATLAB工具箱。該工具箱正是基于多變量的多項式SOS分解，有效地利用半定規(guī)劃來進行計算。SOSTOOLS工具箱是近些年來對SOS多項式感興趣而帶來的發(fā)展成果，主要是因為該技術為許多較難的問題，如全局約束和布爾優(yōu)化等提供了凸松弛，從而為解決非線性系統的分析和控制設計問題提供一個有效的解決方法。實質上這個工具箱，是專門為控制學科研究的，因為研究該工具箱的出發(fā)點是在非線性系統的穩(wěn)定性分析中，怎么樣用一些程序去構造Lyapunov函數。自這一工具箱問世后，SOS法漸漸被廣泛用于吸引域估計和非線性系統的控制設計。哈爾濱工業(yè)大學王廣雄教授提出了非線性H_∞設計的SOS法。隨著SOS理論的不斷完善，在控制系統的設計中將會引起廣泛的重視。

從古代的計時刻漏到漏壺流水控制渾象、從Huygens發(fā)明鐘表到Watt的離心調速器、從人工控制的飛機艦船火炮到Black負反饋放大器的發(fā)明、從Routh和Hurwitz判據到Nyquist判據、從最初的登月到現在的太空發(fā)展、從簡單的系統穩(wěn)定性分析到具有多重性能的控制系統H_∞設計，自動控制技術從瓦特的離心調速器開始經過將近兩個多世紀的千錘百煉，已經成為人類科技文明的重要組成部分?？刂葡到y的理論是非常豐富的。上面的H_∞控制發(fā)展不可能包括控制理論的各個方面。這里介紹的只是本書中一些設計問題形成的歷史背景，使讀者能了解本書中所討論問題的由來和意義。