1.2　chirp平穩信號處理研究進展

chirp平穩信號的概念在2008年才被明確提出[187]。北京理工大學陶然教授團隊和哈爾濱工程大學的史軍教授在chirp平穩信號處理方面做了大量工作。首先，陶然教授團隊基于分數傅里葉變換研究chirp平穩信號[187,203]，定義了分數相關函數和分數功率譜函數，并分析了chirp平穩過程的這兩個特征經過線性時變濾波器后的變化規律，并將之用于雷達信號參數估計和系統辨識中。隨后，史軍教授從線性正則變換的角度來研究chirp平穩信號的統計量，因為線性正則變換是分數傅里葉變換的廣義形式，所以正則相關函數和正則譜函數分別是分數相關函數和分數功率譜函數的廣義形式[172]。作者將這些統計量用于匹配濾波器設計，并討論其在合成孔徑成像激光雷達脈沖壓縮技術中的應用和在提升沖擊雷達距離分辨率中的應用，討論這些統計量與廣義模糊函數之間的關系，推動了匹配濾波在理論和應用方面的發展。在最優濾波器設計方面，史軍教授結合chirp平穩信號的采樣問題提出了優化濾波技術[170]，推動了最優濾波理論的發展。其他學者也有關于該信號的研究，文獻[204]結合chirp循環平穩信號的二階統計量，研究了chirp平穩信號的采樣問題等。這些工作都是針對chirp循環平穩信號的二階統計量展開的，關于chirp平穩信號的分數域高階矩的定義和性質有初步研究[10]，并在參數估計中發揮了作用。

臺灣大學Soo-chang Pei教授研究了隨機信號的相關函數與信號做分數傅里葉變換后相關函數之間的關系[136]，但是該工作沒有介紹隨機信號的分數傅里葉分解的條件和性質。哥倫比亞桑坦德工業大學R.Torres博士基于另一種分數相關和魏格納-維利（Wigner-Ville）分布在分數域分析和研究隨機信號[189]，但是其研究工作是基于隨機信號每個樣本函數（確定函數）的分數傅里葉變換展開的。在實際應用中只能得到隨機信號的部分樣本函數，但是為了全面研究隨機信號，從理論上分析chirp循環平穩信號的可分解性是這些工作的前提條件。另一方面，隨機信號在確定性基函數上的展開依然具有隨機性，建立時域中隨機信號與其在變換域所對應的隨機信號之間的關系具有重要意義。

平穩隨機信號的諧波分解研究是基于其相關函數的諧波分解得出的，相關函數是確定函數，這種利用確定信號的諧波分解指導隨機信號諧波分解的方法很有借鑒意義。平穩隨機信號一定可以諧波分解，其在頻域的分量構成了正交過程[37,107,134,148,149]，并且應用于癲癇信號檢測[108]。有了前述方法論，循環平穩的諧波分解和其相關函數的諧波分解幾乎是同時期開展研究的，其中循環平穩信號可分解為平穩信號的加和[87]，這些平穩過程是等帶寬的，并且所占的頻帶互不重疊。振蕩平穩過程[147]也是基于正交過程的分解，其幅值是受低頻信號調制的正弦波，在此基礎上，提出了振蕩幾乎循環平穩過程模型，其分解分量是幾乎循環平穩過程[116,125]。本書將補充講解基于分數變換基函數的隨機信號的分解。

基于二階統計量的chirp平穩信號分析核心是把時變的二維相關函數轉化為時不變的一維分數相關函數（見圖 1.1），進而，可通過分數功率譜提取信號在分數傅里葉變換域的特征。

（a）自相關函數

（b）分數相關函數

圖1.1　chirp平穩信號處理示意圖