1.3　循環平穩信號處理研究進展

循環平穩信號是一種非平穩隨機信號，其統計量隨時間參數周期變化，這類信號常產生于通信、雷達、聲吶和旋轉機械等系統中[8]。信號的期望隨時間周期性變化的信號稱為一階循環平穩信號，信號的相關函數隨時間參數周期性變化的信號稱為二階循環平穩信號，以此類推，信號的k階矩隨時間周期性變化的信號稱為k階循環平穩信號。數字通信中的振幅、相位、頻率鍵控信號[174,207]，旋轉機械、電視、傳真及雷達系統中的各種周期掃描或往復的機械運動都會產生具有循環平穩性質的信號[29,30]。循環平穩信號統計量的周期性是區別于噪聲和其他非循環平穩干擾信號的主要特征[42,65,77,80,152,167]。從20世紀50年代開始，循環平穩信號處理技術日漸完善，應用領域日益擴大。文獻[76][124][164]總結了近一個世紀以來循環平穩信號的發展歷程和相關成果。

國際上，美國加州大學戴維斯分校W.A.Gardner教授是該領域的開創者和奠基人[65,67,68,72,73,157,158]，其博士生W.A.Brown開展了循環平穩信號二階統計量和濾波的理論研究[38]；其博士生C.M.Spooner主要是在分時概率框架中研究高階循環平穩信號[68,179]，并創建了以“循環平穩”為主題的博客；美國弗吉尼亞大學A.V.Dandawate在循環平穩信號的二階及高階統計量的估計子方面做出了巨大貢獻，包括估計量的估計及其漸進性、一致性等性質分析[44,45,46,155]；意大利那不勒斯大學的N.Antonio教授基于循環頻率未知的假設，提出了循環統計量的估計子并研究了其性質[117]；美國加州大學歐文分校N.J.Bershad教授、阿聯酋C4 Advanced Solutions成員E.Eweda教授和巴西圣卡塔琳娜聯邦大學J.C.M.Bermudez教授專注于各種條件下的循環平穩信號自適應濾波理論和應用的研究[33,55,56,57]；法國里昂大學J.Antoni教授將循環平穩信號處理理論引入旋轉機械故障檢測[24,25,26,205]；以色列本古里安大學R.Dabora副教授帶領的團隊聯合以色列魏茨曼科學研究所Y.C.Eldar教授從信息論角度研究循環平穩高斯信號采樣的率失真函數和含有循環平穩高斯噪聲的信道容量[19,96,165,175,176]；美國伊利諾伊大學香檳分校的R.W.Schoonover博士將循環平穩信號處理應用于脈沖光場分析[160]。在國內，國防科學技術大學黃知濤團隊主要研究和豐富了循環平穩信號的理論和應用體系；上海交通大學機械系統與振動國家重點實驗室將循環平穩信號用于近場聲全息理論并用于滾動軸承故障檢測[1,2,5,14]；太原理工大學李燈熬教授在循環平穩信號在盲均衡器設計和盲源分離算法研究方面取得了大量成果[9]。其他學者也為循環平穩信號處理理論做出了自己的貢獻[157,159,201]。在循環平穩信號應用方面，將微多普勒信號相位的循環平穩特征用于無人機檢測[210]。具體來講，微多普勒信號可建模為正弦調頻信號，即相位是正弦波函數[140]，在其他場景產生的微多普勒信號檢測中有潛在的應用。此外，循環平穩信號處理理論還應用于隨機幅度多項式相位信號的參數估計和檢測[78,99,106,166,211]、盲源分離[20,59]等。

與平穩隨機信號的應用不同，在循環平穩信號處理理論的實踐方面，發展了基于時間平均的分時概率框架[51,74,109,179]。這是因為隨機信號處理理論是建立在集平均的基礎上，而集平均要求無數個樣本實現，這在工程實際中顯然是無法滿足的。為了應用隨機信號處理理論，經常假設信號是平穩且遍歷的。遍歷性假設保證了單樣本觀測的時間平均能夠代替集平均，使得抽象的理論能夠在工程實際中落實。類似地，在應用循環平穩信號處理理論時，相關學者也提出了循環遍歷的概念。既然遍歷信號的基于集平均的統計量與基于時間平均的統計量相等，也就是可以從單觀測樣本的時間平均建立一種“概率”框架[198]，那么這種框架與經典集平均框架應該有某種聯系。該思想起源于維納對于平穩隨機信號時間平均的研究，他的研究工作主要針對平穩隨機信號展開[198]；后在處理循環平穩信號時，以W.A.Gardner教授為主導的學者提出了以時間均值為度量的另一種“概率”框架，并建立了這種新的框架與原始概率框架之間的同構關系[86,199]。在此框架中，基于每個信號都可以建立一個“概率”框架，信號也不必是某隨機信號的樣本。

基于各階統計量的循環平穩信號處理的原理是將周期時變的統計量轉化為時不變的循環統計量，通過傅里葉分析，可將連續的周期時變的變量轉化為可數個循環頻率，在每個循環頻率處分別對信號進行分析與處理。巧妙的是，循環矩譜與信號譜的矩之間存在等價關系，拓展了維納-辛欽定理。與圖1.1所表示的將時變相關函數轉化為時不變分數相關函數的原理不同循環相關函數依然是二維函數，通過固定不同的循環頻率分量處理循環平穩信號（如圖1.2所示）。具體內容詳見第4章的介紹。

（a）自相關函數

（b）循環相關函數

（c）循環相關函數

圖1.2　循環平穩信號處理示意圖