1.1.8 全概率公式

定義1-9：假設(shè)B₁、B₂、…為有限或無限個事件，它們兩兩互斥，且在每次試驗中至少發(fā)生一個，即

把具有式（1-8）所示的這些性質(zhì)的一組事件稱為一個“完備事件群”。

現(xiàn)考慮任意事件A，因Ω為必然事件，有

依據(jù)加法定理，有

再考慮到條件概率的定義式（1-6），有P(AB_i)=P(B_i)P(A|B_i), 將其代入上式得

式（1-9）就稱為“全概率公式”，從其推導(dǎo)的過程可以理解其名稱的由來：“全部”概率P(A)被分解成許多部分之和。其理論和實際意義在于：在較復(fù)雜的情況下直接計算P(A)是不容易的，但是A總是隨某個B_i伴出，則可以適當(dāng)構(gòu)造這一組B_i，往往可以簡化計算。

全概率公式所蘊含和表明的這一思路，對于車輛耐久性道路載荷數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析意義重大。車輛耐久性工程中，一般來說用“偽損傷”或與之等效的一些量（后面會講到）來衡量和表征載荷的強度。車輛耐久性載荷譜編制方面的一個頂層輸入之一，就是當(dāng)車輛行駛到某一設(shè)計里程時（事件發(fā)生時），“偽損傷”或與之等效的這些量能達到什么程度？或者說這些量達到某一程度的概率P(A)是多少。限于現(xiàn)實可行的數(shù)據(jù)獲取條件，直接計算P(A)是不容易的，但是可以適當(dāng)?shù)貥?gòu)建一組完備事件群B_i，并且獲得各個B_i的概率，在此基礎(chǔ)上使得獲得隨某個B_i伴出的P(A|B_i)變得可能，最終運用全概率公式完成對于P(A)的估算。后面將會看到，對于一組完備事件群B_i的構(gòu)建正是道路載荷大數(shù)據(jù)分析工作中對于“工況空間”的構(gòu)建、識別、劃分和統(tǒng)計。

對于全概率公式還可以用如下一個很好的角度加以理解，并可以據(jù)此更好地對其加以應(yīng)用：把B_i看作導(dǎo)致事件A發(fā)生的一種可能途徑。對于不同的途徑，A發(fā)生的概率[即條件概率P(A|B_i)]各不相同，而采取哪個途徑卻是隨機的。在這種情況下，從直觀上不難猜測，A的綜合概率P(A)應(yīng)該在最小的P(A|B_i)和最大的P(A|B_i)之間，它不一定是所有P(A|B_i)的算數(shù)平均，因為各種途徑被使用的機會P(B_i)并不均等，一個更合理的做法是將諸P(A|B_i)以P(B_i)為權(quán)，做加權(quán)平均，而這正是全概率公式表明的道理和實際采用的做法。這樣一種認知角度和思路在后面還會多次使用。