1.4　研究的方法和技術路線

1.4.1　研究方法

本書運用理論分析、數學方法建模、解析式推導、數值計算、仿真模擬相結合的方法進行研究。首先對研究對象進行定性分析，找出主要的影響因素，并結合實際情況和模型求解的難易性，在模型假設過程中，對研究對象的主要因素進行適當又不失真的量化，提出便于數學處理的同時又合乎經濟學常識的模型假設，在此基礎上，建立研究對象的動態優化模型。在模型求解過程中，運用動態隨機分析、最優停時理論、隨機控制理論進行解析推導，通過有限差分法得到數值計算、仿真模擬結果從而得到各因素之間的數量關系。在對數值結果進行理論分析過程中，基于管理科學和經濟學理論，經濟直觀、數學直觀和嚴格論證相結合，繪制圖表從不同角度解釋各因素之間的依存和變化規律，進一步掌握各因素變量的定性關系。

1.4.2　研究的技術路線

（1）基本思路。為闡明基本思路，這里從投資方角度，考慮一個簡單的或有可轉換債券的消費效用無差別定價問題。假設公司資本結構由股權、或有可轉換債券和普通可違約債券組成，公司資產價值（公司收益流）是可觀測的隨機過程，且公司資產（收益流）不可交易，當公司資產價值低于某個臨界水平時，要求或有可轉換債券按事先約定一次性轉換為股權，否則得到固定的息票收入。由于公司資產（收益流）不可交易，這個市場是不完備的，投資者購買或有可轉換債券必須承擔風險，但可以通過交易無風險資產（銀行儲蓄）和市場風險資產（市場組合）來部分對沖風險和平滑消費。對于給定的CARA效用函數，如果對某個給定的或有可轉換債券的價格，購買和不購買或有可轉換債券的無限生命期的期望消費總效用相等，則這樣給定的或有可轉換債券的價格即為消費效用無差別價格。為了得到這樣的無差別價格，需要求解兩個最優控制問題。當然本書還要考慮稅收、破產成本、資本結構和投資者保護水平等問題，轉換方式和轉換條件也會有所變化。但直覺上，以上闡述的簡單的模型，通過對比分析，也可以發現風險回避與風險中性導致的或有可轉換債券的重大差別。

（2）模型建立。本書首先給定一個賦有投資者信息流的、足夠大的概率空間，用來描述金融管理活動中的所有隨機現象，比如，隨機信息源是連續的布朗運動。本書所屬研究領域的經典文獻有Merton（1974）、Black and Cox（1976）、Leland（1994），這些經典文獻為本書的研究思路提供了重要參考。經驗和理論表明，消費效用無差別定價是一個適用范圍最廣的定價，但由于它是一種非線性定價，一般不能得到解析解，數值計算也比較復雜。為此，遵循從簡單到復雜的原則，建立一個馬爾科夫齊次的信用風險模型，同時假設投資者具有CARA效用，這樣就可以消除時間和流動性財富兩個狀態變量，從而使由值函數得到的HJB方程減少了兩維，有利于計算和模型分析。

（3）模型求解。無論對于或有可轉換債券定價還是最優資本結構問題，最優化模型的求解都至關重要。對此，我們將采取以下辦法：①使用最優控制理論和最優停時理論對最優決策和價值函數進行理論求解，從而得到價值函數的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程以及相應的（自由／固定）邊界條件以及控制方程的一階優化條件。②原問題的HJB方程是二階的非線性偏微分方程，很難得到解析解，若采用CARA型效用函數（指數效用函數），則指數效用函數的與財富無關性和價值函數的齊次特性可消去流動性財富對方程的影響，從而使得HJB方程降維，即模型的解與流動性財富無關，降維后得到半閉式解，即將二階非線性偏微分方程轉化為與公司資產價值（公司收益流）相關的一階非線性常微分方程，此方法參考Miao and Wang（2007）[7]。③用有限差分方法對帶有固定／自由邊界的常微分方程做數值計算。

（4）模型檢驗、比較靜態分析和經濟管理學啟示。通過選取適合的、符合常理的參數，對模型和計算結果進行檢驗，并以此進一步檢驗“消費效用無差別定價”的可行性和有效性。例如，當市場完備時，是否風險厭惡系數對資產和定價不再產生影響。又如，當效用函數是線性的，是否得到相應的風險中性結果。比較計算結果和最初的理論分析，給出合理的解釋。進而分析數值模擬結果的經濟學意義，提出或有可轉換債券的設計和建議。