7.2.3 絕對收斂和條件收斂

現(xiàn)在討論一般常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的斂散性，其中un（n=1,2,…）是任意實(shí)數(shù).

定義7.4 如果級數(shù) 各項(xiàng)的絕對值所構(gòu)成的正項(xiàng)級數(shù) 收斂，則稱級數(shù)絕對收斂；如果級數(shù)收斂，而級數(shù) 條件收斂.發(fā)散，則稱級數(shù)

例如級數(shù)和級數(shù)，由萊布尼茨定理易知這兩個級數(shù)是收斂的，它們的絕對值級數(shù)分別為和，而級數(shù)收斂，發(fā)散，所以級數(shù)絕對收斂，級數(shù)條件收斂.絕對收斂和條件收斂是任意項(xiàng)級數(shù)收斂的兩種不同方式，級數(shù)絕對收斂與級數(shù)收斂有以下重要關(guān)系.

定理7.8 若級數(shù)絕對收斂，則級數(shù)一定收斂.

證明 令

顯然vn≥0且vn≤|un|（n=1,2,…）.因級數(shù) 收斂，故由比較審斂法知道，級數(shù)收斂，從而級數(shù)也收斂.而un=2vn－|un|，由收斂級數(shù)的基本性質(zhì)可知

所以級數(shù)收斂.

注 對于任意項(xiàng)級數(shù)，如果我們用正項(xiàng)級數(shù)審斂法判定級數(shù)收斂，那么此級數(shù)一定收斂，這就使一大類級數(shù)的斂散性判定問題，轉(zhuǎn)化成正項(xiàng)級數(shù)的斂散性判定問題.

例7.17 證明：當(dāng)λ＞1時，級數(shù)絕對收斂.

證明 因?yàn)?img alt="" class="ah-pic" src="https://epubservercos.yuewen.com/862C5E/23170215101376006/epubprivate/OEBPS/Images/figure-0022-0276.png?sign=1751221077-p9yRtPpUMQBsnRG2J2EWKDA3vYx7aVIj-0-5e2eb874f0b3e34538da01e58408e787">，當(dāng)λ＞1時，收斂，故級數(shù)收斂，從而級數(shù)絕對收斂.

一般來說，如果級數(shù)發(fā)散，我們不能斷定級數(shù)也發(fā)散.但是，如果我們用比值審斂法（或根值審斂法）判定級數(shù)發(fā)散，那么我們可以斷定級數(shù)必定發(fā)散.這是因?yàn)閺?span id="pk787r4" class="italic">ρ＞1可以推知，從而，因此級數(shù)發(fā)散.

例7.18 判別級數(shù)的斂散性.

解 由，有，可知，因此

級數(shù)發(fā)散.