7.2.2 交錯級數及其審斂法

定義7.3 數項級數

或

其中un＞0（n=1,2,…），稱為交錯級數.

由常數項級數的性質可知，式（7.7）與式（7.8）的斂散性相同，所以我們只討論式（7.7）的交錯級數的斂散性判別方法.

定理7.7（萊布尼茨定理） 如果交錯級數滿足條件：

（1）un≥un＋1＞0（n=1,2,…）；

（2），

則交錯級數收斂，且其和s≤u1，余項的絕對值|rn|≤un＋1.

證明 先證明前2n項的和s2n的極限存在.為此把s2n寫成兩種形式：

s2n=（u1－u2）＋（u3－u4）＋…＋（u2n－1－u2n）

及

s2n=u1－（u2－u3）－（u4－u5）－…－（u2n－2－u2n－1）－u2n，

根據條件（1）知道所有括號中的差都是非負的.由第一種形式可見數列{s2n}是單調增加的，由第二種形式可見s2n＜u1．于是，根據單調有界必有極限知，

又因為

s2n＋1=s2n＋u2n＋1，

所以由條件（2）知=0，因此.

故．從而級數收斂于和s，且s≤u1.

最后，不難看出余項的絕對值|rn|=un＋1－un＋2＋…，該式中右端也是個交錯級數，它滿足收斂的兩個條件，所以其和小于級數的第一項，也就是說|rn|≤un＋1.

例7.15 判別級數

的斂散性.

● 因為, ，而, n，所以級數收斂.

例7.16判別級數

的斂散性.

解因為, ，所以，從而un≥un＋1, ，所以級數收斂.

注萊布尼茨定理中要求un單調遞減的條件不是多余的.例如，級數

是發散的，雖然，當n→∞時，, ，從而數列{un}的一般項un→0，但是u2n－1＞u2n, u2n＜u2n＋1,{un}不具有單調性.同時，un單調遞減的條件也不是必要的.例如，級數

是收斂的，但其一般項un趨于零時并不具有單調遞減性.以上說明了萊布尼茨定理是判別交錯級數收斂的充分非必要條件.