7.2.1 正項級數及其審斂法

1．正項級數

定義7.2 若級數的每一項都是非負的，即un≥0（n=1,2,…），則稱級數為正項級數.

對于正項級數，由于un≥0，因此部分和sn=sn－1＋un≥sn－1，部分和數列{sn}是單調遞增數列.若部分和數列{sn}有界，根據單調有界原理，可知部分和數列{sn}的極限一定存在，此時正項級數收斂.反之，若正項級數收斂，則部分和數列{sn}的極限存在，從而部分和數列{sn}一定有界.因此，我們可以得到正項級數收斂的一個充要條件.

定理7.2 正項級數收斂的充分必要條件是它的部分和數列{sn}有界.

由定理7.2可知，如果正項級數的部分和數列{sn}無界，則級數一定發散，且sn→＋∞（n→∞），即.

2．正項級數的審斂法

根據定理7.2，可得到關于正項級數的一個基本的審斂法.

定理7.3（比較審斂法） 設有兩個正項級數及，而且un≤vn（n=1,2,…）.

（1）如果級數收斂，則級數也收斂；

（2）如果級數發散，則級數也發散.

證明 設級數與的部分和分別為sn與σn，由于un≤vn（n=1,2,…），因此sn≤σn.

（1）若級數收斂，設其和為σ，則sn≤σn≤σ．即正項級數的部分和數列{sn}有界，則級數也收斂.

（2）若級數發散，則部分和sn必趨于無窮大，由于sn≤σn，從而級數的部分和σn也趨于無窮大，則級數也發散.

由于級數的每一項同乘不為零的常數和改變級數的前有限項不影響其斂散性，我們可得如下推論.

推論 設和都是正項級數，且存在自然數N，使當n≥N時有un≤kvn（k＞0）成立.如果級數收斂，則級數收斂；如果級數發散，則級數發散.

例7.8 級數

稱為p級數，試討論其斂散性，其中常數p＞0.

解 當p=1時，p級數式（7.6）為調和級數，故級數發散.

當0＜p＜1時，由于，而級數發散，所以p級數式（7.6）發散.

當p＞1時，此時有

對于級數，其部分和

因為，所以級數 收斂.從而根據定理7.3的推論可知，當p＞1時，p級數式（7.6）收斂.

綜上所述：當p＞1時，p級數式（7.6）收斂；當0＜p≤1時，p級數式（7.6）發散.

比較審斂法是判斷正項級數斂散性的一個重要方法.對一個給定的正項級數，如果要用比較審斂法來判別其收斂性，則首先要通過觀察，找到另一個已知斂散性的級數與其進行比較，只有知道一些重要級數的收斂性，并加以靈活應用，才能熟練掌握比較審斂法.目前，我們熟悉的重要的已知級數有幾何級數、調和級數以及p級數等.

例7.9 利用比較審斂法判別例7.1中級數的斂散性.

解 級數的一般項，且，而級數是p=2的p級數，它是收斂的.因此級數收斂.

為了應用上的方便，我們不加證明地給出比較審斂法的極限形式.

定理7.4（比較審斂法的極限形式） 設 和 都是正項級數，且.

微課：定理7.4的證明

（1）如果0＜l＜＋∞，則級數 和 同時收斂或同時發散；

（2）如果l=0，若收斂，則收斂；若發散，則發散；

（3）如果l=＋∞，若收斂，則收斂；若發散，則發散.

例7.10判別級數的斂散性.

解 因為，而級數發散，根據定理7.4，級數發散.

例7.11 判別級數的斂散性.

解 因為，而級數收斂，根據定理7.4，級數收斂.

用比較審斂法或其極限形式，都需要找到一個已知的參考級數做比較，這多少有些困難，下面介紹的審斂法，可以利用級數自身的特點，來判別級數的斂散性.

定理7.5（比值審斂法，達郎貝爾判別法） 設是正項級數，, 則

（1）當ρ＜1時，級數收斂；

（2）當ρ＞1時，級數發散；

（3）當ρ=1時，級數可能收斂，也可能發散.

證明 （1）當ρ＜1時，取定ε＞0，使得ρ＋ε=r＜1，由于，根據極限定義，存在正整數N，當n≥N時，有，于是

因此

uN＋1＜ruN, uN＋2＜ruN＋1＜r2uN, …, uN＋k＜ruN＋k－1＜rkuN, …，

因為r＜1，而 uN是常數，所以等比級數是收斂的，根據定理7.3的推論，知級數收斂.

（2）當ρ＞1時，取定ε＞0，使得ρ－ε=r＞1，由極限定義，存在正整數N，當n≥N時，有，于是有

因此

un＋1＞un.

所以當n≥N時，級數的一般項逐漸增大，從而，可知級數發散.

（3）當ρ=1時級數可能收斂也可能發散，例如p級數，不論p為何值時，都有

但當p＞1時p級數收斂，當p≤1時p級數發散，所以ρ=1時，可能收斂也可能發散.

例7.12 判別下列級數的斂散性.

（1）；

（2）.

解 （1）因為

根據定理7.5知級數收斂.

（2）因為

根據定理7.5知級數發散.

例7.13 判別級數的斂散性.

解 由于，這時ρ=1，因此比值審斂法失效，必須用其他方法來判別級數的斂散性.

因為，而級數收斂，因此由比較審斂法可知所給級數收斂.

【即時提問7.2】 如果正項級數收斂，是否一定可以得到呢？

定理7.6（根值審斂法，柯西判別法）設是正項級數，如果, 則

（1）當ρ＜1時，級數收斂；

（2）當ρ＞1時，級數發散；

（3）當ρ=1時，級數可能收斂，也可能發散.

定理7.6的證明與定理7.5相仿，這里從略.

微課：定理7.6的證明

例7.14 判別級數的斂散性.

解 由于，因此，根據定理7.6知原級數收斂.

注 判別一個正項級數的斂散性，一般而言，可按以下程序進行考慮.

（1）檢查一般項，若，可判定級數發散；若，先試用比值審斂法.如果比值審斂法失效，則用比較審斂法或根值審斂法.

（2）用比值（根值）審斂法判定，若比值（根值）極限為1時，改用其他的判別方法.

（3）檢查正項級數的部分和是否有界或判別部分和是否有極限.

上面我們討論了正項級數的審斂法，本節我們還要繼續討論一般常數項級數斂散性的判別方法，這里所謂“一般常數項級數”是指級數的各項可以是正數、負數或零.先來討論一種特殊的級數——交錯級數，然后再討論一般的常數項級數.