2.3.1 靜止坐標系數學模型

類似于三相電動機各繞組軸線構成的自然坐標系數學模型的推導，結合電動機學中的磁場的雙反應原理，推導建立定子六相繞組A～F的自感L_AA～L_FF表達式，結果如下：

式中，L_sm=（L_dm+L_qm）/2，L_rs=（L_dm-L_qm）/2，L_dm、L_qm分別為相繞組軸線與d軸、q軸重合時相繞組自感中的氣隙主電感；L_sσ1為自感中的漏電感。

式（2-14）的具體推導過程以A相自感為例，并且為了便于讀者理解考慮諧波平面機電能量轉換的多相電動機數學模型，以下A相自感的推導考慮了諧波成分。根據電感的定義，考慮在A相繞組中流過激勵電流i_A，產生與A相繞組匝鏈的總磁鏈ψ_A，則A相自感L_AA如下：

其中，總磁鏈由穿過氣隙的氣隙主磁鏈ψ_Am和漏磁鏈ψ_sσ1組成，氣隙主磁鏈在d軸、q軸上的分量分別為ψ_dm，ψ_qm，根據圖2-6中各變量之間的關系，在考慮各次諧波后A相繞組自感磁鏈可以進一步寫為

電流在n次諧波平面d軸、q軸的分量（雙反應分量）分別為

i _{dm n} =i_Acos（nθ_r）

所以根據式（2-15）～式（2-17），在考慮各次諧波后A相繞組自感可以進一步寫為

式中，ψ_dmn=F_φncos（nθ_r）Nk_wn/R_sd，ψ_qmn=F_φnsin（nθ_r）Nk_wn/R_sq分別為n次氣隙主磁鏈在d軸、q軸上的分量；R_sd，R_sq分別為相繞組磁路直、交軸磁阻；N為相繞組匝數；k_wn為n次諧波繞組系數；F_φn為n次諧波磁動勢。L_smn=0.5（L_dmn+L_qmn），L_rsn=0.5（L_dmn-L_qmn）。第n次諧波d軸、q軸氣隙主電感L_dmn，L_qmn分別如下：

式中，m為電流諧波次數；p為電動機磁極對數；I_m為電流幅值。

類似于繞組自感的推導，同樣結合電動機學中雙反應原理，推導建立各相繞組互感M_ij（i=A～F,j=A～F,且i≠j）的表達式如下：

將式（2-14）及式（2-21）～式（2-24）進一步用電感矩陣L表示如下：

式中，I₆為6×6的單位矩陣；L_DC，L_AC分別為與轉子位置無關的電感分量系數矩陣和與轉子位置有關的電感分量系數矩陣，分別如下：

把轉子上幅值為ψ_f的永磁體磁鏈分別向A～F軸線進行投影，得到A～F相繞組耦合的永磁體磁鏈ψ_Af～ψ_Ff分別如下：

式（2-28）進一步對時間求導數，即可推導出A～F相繞組中的反電動勢如下：

根據電動機學中磁路耦合原理分析可知，定子各相繞組磁鏈等于自感磁鏈、他相對其產生的互感磁鏈及永磁體耦合磁鏈之和，而繞組電流產生的自感磁鏈及互感磁鏈可以用上述公式推導出的電感與電流的乘積表示。所以，建立A～F相繞組磁鏈ψ_sA～ψ_sF的數學模型如下：

繞組電阻壓降、繞組反電動勢之和與繞組端電壓u_sA～u_sF相平衡，從而建立繞組A～F的電壓平衡方程式如下：

式中，R_s為定子相繞組電阻。

為了推導電磁轉矩表達式，需建立多相電動機的磁共能表達式。假設電動機磁路為線性磁路，則六相永磁同步電動機的磁共能如下：

式中，i_s=［i_sAi_sBi_sC i_sD i_sE i_sF］T，ψ_r=［ψ_Af ψ_Bf ψ_Cf ψ_Df ψ_Ef ψ_Ff］T分別為定子電流及相繞組耦合永磁體磁鏈列矢量。式（2-32）兩邊對轉子位置角的機械角求偏微分，得到電磁轉矩T_e如下：

其中

由式（2-33）～式（2-35）可見，自然坐標系中電磁轉矩與轉子位置角有關，是時變參數變量；若電動機凸極現象不嚴重，則L_rs較小，磁路凸極現象帶來的電磁轉矩較小，電磁轉矩主要由永磁體磁場與定子電流相互作用的結果構成。

與傳統的三相電動機類似，當已知負載轉矩T_L和傳動鏈轉動慣量J時，存在以下的運動方程式：

以上建立了A～F相自然坐標系下完整的電動機數學模型，該數學模型把實際電動機相繞組電路和磁鏈有機地聯系在一起，是一種多變量、強耦合、高階、非線性的數學模型，不利于電動機電磁轉矩及磁場的瞬時控制策略的建立，必須進行簡化、解耦處理。為此，采用坐標變換方法，把實際電動機模型映射到αβ機電能量轉換平面和z₁～z₄零序軸系上。根據2.2節多相交流電動機多平面分解坐標變換理論，構建六相自然坐標系變量向αβz₁～z₄變換矩陣T₆，該變換同時遵循了變換前后系統功率不變的原則。

式（2-30）兩邊同時左乘變換矩陣T₆，得到αβz₁～z₄軸系下的定子磁鏈表達式如下：

其中，變量在αβz₁～z₄軸上分量用下角區分。

把式（2-25）、式（2-28）、式（2-37）和式（2-38）代入式（2-39）中，式（2-39）進一步推導得

式中，，分別為轉子永磁磁鏈在αβ軸上的投影；i_sαβ=[i_sαi_sβ]T，ψ_rαβ=[ψ_rαψ_rβ]T，i_z=[i_sz1i_sz2i_sz3i_sz4]T；L_θr，L_z分別如下：

令ψ_s=［ψ_sα ψ_sβ］T，ψ_z=［ψ_sz1 ψ_sz2 ψ_sz3 ψ_sz4］T，則式（2-40）進一步簡記為

式（2-31）兩邊同時左乘變換矩陣T₆，得到αβz₁～z₄軸系下的定子電壓表達式如下：

考慮磁路線性情況下，電動機的磁共能如下：

式（2-45）磁共能表達式對轉子位置機械角度求偏導數，得出電磁轉矩如下：

從式（2-46）可見，正弦波六相對稱繞組永磁同步電動機機電能量轉換處于αβ平面上，電磁轉矩是該平面上的定子磁鏈矢量與定子電流矢量的叉乘；而由式（2-44）進一步可見，αβ平面上定子磁鏈與該平面上的定子電壓和定子電流有關，若忽略定子電阻壓降，則αβ平面上的定子磁鏈直接由該平面定子電壓控制。零序軸系不參與機電能量轉換，其回路由定子電阻和漏電感構成。