2.2 多相交流電動(dòng)機(jī)多平面分解坐標(biāo)變換理論

根據(jù)電機(jī)學(xué)理論可知，氣隙磁動(dòng)勢是交流電動(dòng)機(jī)定子、轉(zhuǎn)子之間的媒介，也是交流電動(dòng)機(jī)實(shí)現(xiàn)機(jī)電能量轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵變量。對于氣隙磁場為正弦波的三相交流電動(dòng)機(jī)，根據(jù)電動(dòng)機(jī)學(xué)氣隙磁動(dòng)勢理論可知，氣隙磁動(dòng)勢為空間旋轉(zhuǎn)的矢量；從產(chǎn)生相同的氣隙磁動(dòng)勢旋轉(zhuǎn)矢量角度看，并非一定需要三相繞組，采用兩相軸線正交的繞組也可以產(chǎn)生與三相繞組相同的氣隙磁動(dòng)勢。為了找尋兩相繞組與三相繞組磁動(dòng)勢分量之間的關(guān)系，把三相繞組產(chǎn)生的磁動(dòng)勢分別向由兩相繞組軸線構(gòu)成的直角坐標(biāo)系進(jìn)行投影，即可獲得對應(yīng)兩相繞組產(chǎn)生的磁動(dòng)勢，如圖2-1所示。

三相A-B繞組產(chǎn)生的磁動(dòng)勢分別為F_A，F_B，F_C，兩相繞組產(chǎn)生的磁動(dòng)勢分別為F_α1，F_β1，產(chǎn)生的空間合成磁動(dòng)勢為F_∑，則磁動(dòng)勢對應(yīng)關(guān)系如下：

式（2-2）中α₁軸、β₁軸的變換系數(shù)矢量可以用通式表示如下：

當(dāng)φ=0及φ=π/2時(shí)，由式（2-3）分別得到α₁軸、β₁軸的變換系數(shù)矢量如下：

顯然，α₁軸、β₁軸的變換系數(shù)矢量正交，同時(shí)這種變換滿足了磁動(dòng)勢不變原則，這樣就實(shí)現(xiàn)了三相繞組等效變換為兩相繞組。實(shí)際系統(tǒng)中還有可能存在零序通路，零序軸系變換系數(shù)矢量只要遵循與式（2-4）矢量正交原則即可求得

根據(jù)式（2-4）及式（2-5），結(jié)合具體的約束條件即可獲得三相系統(tǒng)向兩相系統(tǒng)的變換矩陣，以下的T₃變換矩陣就是熟知的滿足功率不變原則時(shí)建立的變換矩陣：

借助該變換矩陣，即可對由三相繞組軸線構(gòu)成的自然坐標(biāo)系數(shù)學(xué)模型進(jìn)行簡化，實(shí)際三相電動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)模型投影到一個(gè)直角坐標(biāo)平面（機(jī)電能量轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系）和一個(gè)零序軸系中。

同樣，為了對多相電動(dòng)機(jī)進(jìn)行解耦控制，也可以類似于三相電動(dòng)機(jī)中的變換方法，把多相電動(dòng)機(jī)分解到多個(gè)正交直角坐標(biāo)平面和多個(gè)零序軸系中。隨著電動(dòng)機(jī)相數(shù)的增多，機(jī)電能量轉(zhuǎn)換可以被映射到多個(gè)直角坐標(biāo)平面，同時(shí)也出現(xiàn)了多個(gè)零序軸系。其中，有一個(gè)為基波平面，其他平面稱為諧波平面。類似于上述三相系統(tǒng)的推導(dǎo)，建立m相對稱繞組系統(tǒng)基波平面的變換系數(shù)矢量如下：

對應(yīng)基波平面各軸之間關(guān)系的示意圖如圖2-2所示。1-m相軸線之間的夾角為0，2π/m，…，2π（i-1）/m，…，2π（m-1）/m，依次互差2π/m。

當(dāng)φ=0及φ=π/2時(shí)，由式（2-7）分別得到α₁軸、β₁軸變換系數(shù)矢量如下：

顯然，α₁軸、β₁軸的變換系數(shù)矢量正交。

若電動(dòng)機(jī)中存在諧波，則還存在類似于式（2-7）的諧波直角坐標(biāo)平面變換矢量。例如，第k次諧波直角平面α_kβ_k變換矢量如下：

式（2-9）形式同樣滿足了k次諧波平面磁動(dòng)勢相等原則，同時(shí)也體現(xiàn)了諧波平面各軸線夾角關(guān)系，用圖2-3示意k次諧波平面各軸線夾角關(guān)系，1-m相軸線之間的夾角為0，2πk/m，…，2π（i-1）k/m，…，2π（m-1）k/m，1-m軸線依次互差2πk/m角。當(dāng)φ=0及φ=π/2時(shí)，由式（2-9）分別得到α_k軸、β_k軸變換系數(shù)矢量如下：

若m相繞組不對稱分布，例如雙三相電動(dòng)機(jī)定子存在兩套三相繞組，每一套繞組是對稱的，但兩套繞組夾角并非一定為60°電角度，變換矢量也可以類似于式（2-9）和式（2-10）進(jìn)行推導(dǎo)獲得。若基波平面1-m相軸線之間的夾角為0，θ₁，…，θ_i，…，θ_m-1,則仿照式（2-9）建立第k次諧波平面α_kβ_k變換矢量如下：

當(dāng)φ=0及φ=π/2時(shí)，由式（2-11）分別得到α_k軸、β_k軸變換系數(shù)矢量如下：

α_k:［cos0 coskθ₁…coskθ_i…coskθ_m-1］

由于多相電動(dòng)機(jī)相數(shù)較多，直接求解與式（2-9）矢量或式（2-11）矢量正交的零序變換矢量較困難，因此可以借助于Matlab中的Null函數(shù)求解。根據(jù)以上分析，可以構(gòu)建如下的m相向多平面、多零序軸系變換矩陣T_m：

不對稱m相繞組基波平面各軸線之間夾角示意圖如圖2-4所示。