2.2 多相交流電動機多平面分解坐標變換理論

根據電機學理論可知，氣隙磁動勢是交流電動機定子、轉子之間的媒介，也是交流電動機實現機電能量轉換的關鍵變量。對于氣隙磁場為正弦波的三相交流電動機，根據電動機學氣隙磁動勢理論可知，氣隙磁動勢為空間旋轉的矢量；從產生相同的氣隙磁動勢旋轉矢量角度看，并非一定需要三相繞組，采用兩相軸線正交的繞組也可以產生與三相繞組相同的氣隙磁動勢。為了找尋兩相繞組與三相繞組磁動勢分量之間的關系，把三相繞組產生的磁動勢分別向由兩相繞組軸線構成的直角坐標系進行投影，即可獲得對應兩相繞組產生的磁動勢，如圖2-1所示。

三相A-B繞組產生的磁動勢分別為F_A，F_B，F_C，兩相繞組產生的磁動勢分別為F_α1，F_β1，產生的空間合成磁動勢為F_∑，則磁動勢對應關系如下：

式（2-2）中α₁軸、β₁軸的變換系數矢量可以用通式表示如下：

當φ=0及φ=π/2時，由式（2-3）分別得到α₁軸、β₁軸的變換系數矢量如下：

顯然，α₁軸、β₁軸的變換系數矢量正交，同時這種變換滿足了磁動勢不變原則，這樣就實現了三相繞組等效變換為兩相繞組。實際系統中還有可能存在零序通路，零序軸系變換系數矢量只要遵循與式（2-4）矢量正交原則即可求得

根據式（2-4）及式（2-5），結合具體的約束條件即可獲得三相系統向兩相系統的變換矩陣，以下的T₃變換矩陣就是熟知的滿足功率不變原則時建立的變換矩陣：

借助該變換矩陣，即可對由三相繞組軸線構成的自然坐標系數學模型進行簡化，實際三相電動機數學模型投影到一個直角坐標平面（機電能量轉換坐標系）和一個零序軸系中。

同樣，為了對多相電動機進行解耦控制，也可以類似于三相電動機中的變換方法，把多相電動機分解到多個正交直角坐標平面和多個零序軸系中。隨著電動機相數的增多，機電能量轉換可以被映射到多個直角坐標平面，同時也出現了多個零序軸系。其中，有一個為基波平面，其他平面稱為諧波平面。類似于上述三相系統的推導，建立m相對稱繞組系統基波平面的變換系數矢量如下：

對應基波平面各軸之間關系的示意圖如圖2-2所示。1-m相軸線之間的夾角為0，2π/m，…，2π（i-1）/m，…，2π（m-1）/m，依次互差2π/m。

當φ=0及φ=π/2時，由式（2-7）分別得到α₁軸、β₁軸變換系數矢量如下：

顯然，α₁軸、β₁軸的變換系數矢量正交。

若電動機中存在諧波，則還存在類似于式（2-7）的諧波直角坐標平面變換矢量。例如，第k次諧波直角平面α_kβ_k變換矢量如下：

式（2-9）形式同樣滿足了k次諧波平面磁動勢相等原則，同時也體現了諧波平面各軸線夾角關系，用圖2-3示意k次諧波平面各軸線夾角關系，1-m相軸線之間的夾角為0，2πk/m，…，2π（i-1）k/m，…，2π（m-1）k/m，1-m軸線依次互差2πk/m角。當φ=0及φ=π/2時，由式（2-9）分別得到α_k軸、β_k軸變換系數矢量如下：

若m相繞組不對稱分布，例如雙三相電動機定子存在兩套三相繞組，每一套繞組是對稱的，但兩套繞組夾角并非一定為60°電角度，變換矢量也可以類似于式（2-9）和式（2-10）進行推導獲得。若基波平面1-m相軸線之間的夾角為0，θ₁，…，θ_i，…，θ_m-1,則仿照式（2-9）建立第k次諧波平面α_kβ_k變換矢量如下：

當φ=0及φ=π/2時，由式（2-11）分別得到α_k軸、β_k軸變換系數矢量如下：

α_k:［cos0 coskθ₁…coskθ_i…coskθ_m-1］

由于多相電動機相數較多，直接求解與式（2-9）矢量或式（2-11）矢量正交的零序變換矢量較困難，因此可以借助于Matlab中的Null函數求解。根據以上分析，可以構建如下的m相向多平面、多零序軸系變換矩陣T_m：

不對稱m相繞組基波平面各軸線之間夾角示意圖如圖2-4所示。