2.5.4 閉環控制系統的誤差傳遞函數

閉環控制系統的誤差e(t)，定義為給定輸入信號r(t)與反饋信號b(t)之差，即

誤差e(t)的大小反映了控制系統的控制精度。因此有必要研究e(t)與輸入信號r(t)和干擾輸入信號n(t)之間的數學關系。它們之間的關系用誤差傳遞函數來描述。

（1）R(s)作用下系統的誤差傳遞函數

令N(s)=0，以E(s)為輸出量，則圖2-62可變為圖2-65，此時系統的誤差傳遞函數為

（2）N(s)作用下系統的誤差傳遞函數

令R(s)=0，則圖2-62變換為圖2-66，在N(s)作用下的誤差傳遞函數定義為Φ_en(s)=E(s)/N(s)，由圖2-66可得到

由疊加原理求得系統的在給定輸入r(t)與干擾輸入n(t)同時作用下系統總的誤差的拉普拉斯變換式為

比較式（2-123）、式（2-125）、式（2-129）、式（2-130）可以發現，這4個閉環傳遞函數的分母都相同，因為是同一系統，各個閉環傳遞函數的分母都相等，等于“1+開環傳遞函數(G₁(s)G₂(s)H(s))”，差別只是各閉環傳遞函數的分子，即各輸入到輸出的前向通道傳遞函數不同。

將式（2-120）代入式（2-123）可得到

由拉普拉斯變換可知，控制系統閉環傳遞函數的分母多項式，即系統微分方程的特征多項式D(s)，等于系統開環傳遞函數分母多項式與分子多項式之和，即D(s)=N(s)+M(s)。由于n>m，所以閉環特征多項式D(s)也是n階的。Φ(s)的分子多項式M_Φ(s)=G₁(s)G₂(s)N(s)，若閉環系統是單位負反饋的，即H(s)=1，則M_Φ(s)=M(s)，否則M_Φ(s)≠M(s)。將D(s)展開并進行因式分解可得到

可見，閉環系統有n個閉環極點s_i（i=1，2，…，n），閉環極點s_i（i=1，2，…，n）與開環極點p_i（i=1，2，…，n）個數相等，其值則由開環極點、開環零點及開環根軌跡增益共同決定。閉環傳遞函數的極點s_i（i=1，2，…，n），即閉環系統特征方程D(s)=0的根。通過上述分析可知，令開環傳遞函數分母多項式與其分子多項式的和為零，即可得到閉環系統微分方程的特征方程