2.5.5 多輸入-多輸出系統的傳遞函數矩陣

根據定義，傳遞函數只能用來描述系統的一個輸入量與一個輸出量之間的數學關系。多輸入-多輸出系統的輸入量與輸出量之間的關系可以用傳遞函數矩陣描述。圖2-67所示系統有兩個輸入量和兩個輸出量。用疊加定理可以分別求出每一個輸入量單獨作用時，各輸出量與各輸入量之間的傳遞函數。

當R₁(s)單獨作用時，為了求出Y₁(s)與R₁(s)之間的傳遞函數，可將圖2-67改畫為圖2-68a，則Y₁(s)相對于R₁(s)的傳遞函數為

Y₂(s)相對于R₁(s)的結構圖如圖2-68b所示，其傳遞函數為

同理，可得Y₁(s)與R₂(s)之間、Y₂(s)與R₂(s)之間的傳遞函數為

和

綜上，各輸入量與輸出量之間的關系式為

寫成矩陣表示形式為

式中，為輸入向量的拉普拉斯變換矩陣；為輸出向量的拉普拉斯變換矩陣。聯系這兩個向量的二階矩陣即為傳遞函數矩陣。

對于m個輸入量和n個輸出量的多輸入-多輸出系統，設第i個輸出量的拉普拉斯變換Y_i(s)與m個輸入量的拉普拉斯變換之間的關系式為

在定義G_ij(s)時，假設只有第j個輸入量R_j(s)起作用，其余的輸入量均為零，將描述n個輸出向量的拉普拉斯變換的方程寫成矩陣的形式就有

式（2-141）給出了m個輸入量與n個輸出量之間的相互關系，可以簡記為

式中

Y(s)是輸出向量的拉普拉斯變量矩陣，R(s)是輸入向量的拉普拉斯變量矩陣，G(s)是Y(s)和R(s)之間的傳遞函數矩陣。