2.3.4 典型環節的傳遞函數

數學模型是研究控制系統動態特性的基礎和重要手段，控制系統都是由各種各樣、不同種類的元件和裝置構成，在建立數學模型的過程中，可以發現很多不同實際結構、物理過程的元器件和裝置具有相同的微分方程、傳遞函數形式，這是因為它們具有相同形式的動態特性。控制系統中常見的元件和裝置依照動態特性或者數學模型來分類，不管元件或者裝置是機械的、電氣的、液壓的、電子的或者光學的等其他形式，只要它們的數學模型形式一樣，就認為它們是同一種典型環節。從動態特性來看，自動控制系統、被控對象和控制裝置都可看成是由下列為數不多的幾種典型環節按不同的連接方式組合而成的。這里所說的“連接”，是指信號的傳遞關系，而不是具體結構上的聯系。

應該指出，由于典型環節是按照數學模型的共性來劃分的，它與具體元器件不一定都是一一對應的。逐個研究和掌握典型環節的特性，就不難進一步研究整個系統的特性。

1.比例環節

比例環節是控制系統中最基本、最常見的一類典型環節，其動態方程為代數方程

式中，r(t)為比例環節的輸入信號；у(t)為比例環節的輸出信號；K為常數，稱為放大系數或增益，則比例環節的傳遞函數為

a）階躍信號 b）階躍響應

從比例環節的數學模型可以看到，它的輸出是以K倍幅值對輸入信號進行無延遲、無失真的復現。如果輸入信號為式（2-54）所描述的階躍信號

則比例環節的輸出如圖2-13b所示，可以看到，輸出信號和輸入信號的波形相同，且沒有延遲。在實際的控制系統中，很多元件和設備在理想化條件下都具有比例環節特性，如電位器、輸入信號為轉速的測速發電機、杠桿以及圖2-12所示的比例放大器等。

例2-11 試求圖2-14所示電位器的傳遞函數。

解：圖2-14所示電位器是一個將角位移或線位移轉換成電壓信號的裝置，在空載時，電位器的角位移與輸出電壓的關系為

式中，E是電源電壓；θ_maX是電位器最大工作角度；K=E/θ_maX是電位器傳遞系數。對式（2-55）進行拉普拉斯變換，得到電位器的傳遞函數為

可見電位器是典型的比例環節。

例2-12 試求圖2-15所示誤差檢測器的傳遞函數。

解：由一對相同的電位器，可以組成一個誤差檢測器，如圖2-15所示，誤差檢測器的輸出電壓為

式中，K為電位器的傳遞系數；Δθ(t)是兩個電位器電刷滑臂角位移之差，稱為誤差角。如果以誤差角為輸入信號，誤差檢測器的輸出電壓u(t)為輸出信號，則由式（2-57）可得誤差檢測器的傳遞函數為

例2-13 試求圖2-16所示直流測速發電機的傳遞函數。

解：直流測速發電機常常用作控制系統的反饋部件，它是將角速度轉換為電壓信號的裝置，測速發電機的轉速越大，則輸出的電壓就越大，由圖2-16有

則測速發電機的傳遞函數為

式（2-60）和式（2-61）是分別以發電機轉速和轉角為輸入量的直流測速發電機的傳遞函數，顯然以式（2-60）描述的測速發電機才是一個比例環節。可見，對于同一個部件，關注不同的輸入信號和輸出信號，因其數學模型是不一樣的，要劃歸為不同類型的典型環節。

被控對象的動態特性不可能只用比例環節描述，但希望執行機構、檢測裝置都具有比例環節的動態特性，具有比例環節動態特性的比例控制器是最基本、最簡單的控制器。

2.積分環節

當輸出信號與輸入信號的積分成正比時，稱其為積分環節。設r(t)為輸入，у(t)為輸出，則積分環節的動態方程為

式中，T稱為積分時間常數；K=T1稱為積分速度或積分系數。積分環節的傳遞函數為

積分環節的階躍響應為

如圖2-17b所示，積分環節的階躍響應隨時間線性增長；у(t)達到輸入r(t)幅值所需的時間就為積分時間常數T的值，即у(t)|_t=T=r(t)。顯然，T值越大，響應у(t)曲線的斜率越小，у(t)變化越慢，當輸入信號在某一時刻t_i消失，積分停止，積分環節的輸出就保持在у(t_i)不再改變，故積分環節具有“記憶”特性。

a）階躍信號 b）階躍響應

積分特性可能存在于被控對象中，積分特性也常用作改善系統性能的輔助控制作用。應注意的是，積分環節具有飽和的特點，以上線性變化的階躍響應及其記憶特性都是飽和前的特性。

3.微分環節

理想微分環節的動態方程為

式中，r(t)為理想微分環節的輸入信號；у(t)為理想微分環節的輸出信號；T_d是微分環節的微分時間常數。理想微分環節的傳遞函數為

如果理想微分環節的輸入信號為式（2-54）的階躍信號，則其輸出響應為

所以理想微分環節的階躍響應是一個面積為T_dR的脈沖信號，如圖2-18b所示。

a）階躍信號 b）階躍響應

在實際情況下，物理元器件和裝置都不可能在階躍信號輸入的瞬時，輸出無窮大的且持續時間趨于零的信號，所以，理想微分環節動態特性在實際情況中是較難實現的。但是有些元器件或電路的數學模型形式也的確是理想微分環節，如例2-13中的直流測速發電機，當關注的輸入是發電機轉角θ(t)和輸出電壓u(t)時，由式（2-61）描述的直流測速發電機就是典型的理想微分環節。又如電感元件其電感電壓u_L(t)和電流i(t)之間的微分方程和傳遞函數為

可見其也是理想微分環節。

被控對象不可能具有微分特性，但常利用微分特性作為改善系統性能的又一輔助控制作用。

由于理想微分環節難以實現，所以實際情況中多用具有近似微分特性的實際微分環節來代替理想微分環節，實際微分環節可由如圖2-19a所示RC無源網絡實現，其階躍響應曲線如圖2-19b所示，由實際微分環節的電路圖可得到其傳遞函數為

a）實際微分環節 b）階躍響應

式中，T_d=RC，當選較小的T_d，即T_d《1時，G(s)≈T_ds，所以可以用此電路作為理想微分環節來使用。

4.慣性環節

慣性環節又稱為非周期環節，其動態方程為

式中，r(t)為慣性環節的輸入信號；у(t)為慣性環節的輸出信號；T是慣性環節的時間常數；K是慣性環節的放大系數。慣性環節的傳遞函數為

如果慣性環節的輸入信號為式（2-54）的階躍信號，則其響應輸出如圖2-20b所示，從圖中可以看到，慣性環節的階躍響應是一個非周期曲線，其輸出不能立即跟隨輸入量的變化，存在著慣性，且時間常數T越大，其慣性越大，隨著時間的增加，慣性環節的輸出最終趨于新的平衡。

a）階躍信號 b）階躍響應

慣性環節的實例很多，例2-1中的RC無源網絡、式（2-38）所示機械轉動系統、式（2-41）和式（2-42）描述的電樞控制他勵直流電動機都是典型的慣性環節，例2-5線性化后由一階線性微分方程描述的單容水箱也是慣性環節。工程實際中大多數被控對象的動態特性可用一個或多個慣性環節描述。

5.一階微分環節

一階微分環節的動態方程為

式中，r(t)為一階微分環節的輸入信號；у(t)為一階微分環節的輸出信號；T_d是一階微分環節的微分時間常數。一階微分環節的傳遞函數為

圖2-21 所示的有源網絡電路由比例環節和一階微分環節組成，其傳遞函數為

式中，K_p=R₂/R₁，是這個有源網絡電路的放大增益；T_d=R₁C是一階微分環節的時間常數。其階躍響應曲線如圖2-22b所示。這個有源網絡經常用做控制器，稱為比例-微分（PD）控制器。

a）階躍信號 b）階躍響應

6.振蕩環節

振蕩環節的動態方程為

式中，r(t)為振蕩環節的輸入信號；у(t)為振蕩環節的輸出信號；K是振蕩環節的增益；T是振蕩環節的時間常數；ζ稱為振蕩環節的阻尼比。振蕩環節的傳遞函數為

如果振蕩環節的輸入信號為式（2-54）的階躍信號，則其響應輸出如圖2-23b所示，從圖中可以看到，振蕩環節的階躍響應具有衰減振蕩特性。例2-2中的彈簧-質量-阻尼系統就是典型的振蕩環節。圖2-24所示的RLC振蕩電路也是典型的振蕩環節，其傳遞函數為

式中，；；K=1。

a）階躍信號 b）階躍響應

實際被控對象的動態特性很少有振蕩特性，但滿足穩、準、快要求的大多數控制系統的階躍響應都可近似于具有一定阻尼比的振蕩環節的響應特性。

7.延遲環節

延遲環節的動態方程為

式中，r(t)為延遲環節的輸入信號；у(t)為延遲環節的輸出信號；τ是延遲環節的延遲時間。延遲環節的傳遞函數為

如果延遲環節的輸入信號為式（2-54）的階躍信號，則其響應輸出如圖2-25b所示，從圖中可以看到，延遲環節的輸出具有和輸入一樣的波形，只是輸出比輸入有一個時間上的延遲，其延遲時間為τ。

例2-14 圖2-26是軋鋼時檢測鋼板厚度的厚度檢測示意圖，由于檢測器所在的位置B點離軋輥所在位置A還有一段距離L，當在A點軋好的鋼板以速度v傳送到檢測點B處時，厚度檢測器才可以檢測到鋼板的厚度，B點檢測輸出的鋼板厚度應該與A點處的鋼板厚度相等，只是檢測器的輸出會有一個時間上的延遲。所以有

a）階躍信號 b）階躍響應

所以其傳遞函數為

如果將延遲環節的傳遞函數式（2-78）進行泰勒級數的展開，有

當延遲時間τ很小的時候，可見此時延遲環節等效于一個慣性環節

顯然，控制器本身是不允許存在延遲的，但測量過程、被控對象、傳熱、傳質的生產過程等，常常存在難以避免且不可忽略的延遲，其動態特性需要由延遲環節描述。延遲過大往往使控制系統性能全面惡化，甚至導致系統失去穩定。

綜上可見，不同的裝置、元器件，可具有相同的動態特性，從而具有相同的數學模型形式，稱它們為同一類典型環節。同一裝置或元器件，在不同的場合，轉換信號時，對不同的輸入量或輸出量，數學模型也不同，則應分別劃歸為不同的典型環節，如測速發電機，又如以電樞電壓為輸入、轉速為輸出的直流電動機是一個慣性環節，而當以轉角為輸出時的直流電動機G(s)=Θ(s)/U_a(s)=K_m/s(T_ms+1)則是積分環節與慣性環節的組合了。