2.3.3 傳遞函數(shù)的求法

1.傳遞函數(shù)的建立

傳遞函數(shù)是通過(guò)拉普拉斯變換由微分方程模型得到的，建立傳遞函數(shù)的一般步驟為：

1）確定系統(tǒng)和各組成環(huán)節(jié)的輸入、輸出變量，根據(jù)遵循的工作原理，列寫(xiě)各環(huán)節(jié)動(dòng)態(tài)微分方程（組）。

2）在零初始條件下對(duì)各微分方程進(jìn)行拉普拉斯變換，得到環(huán)節(jié)在s域的拉普拉斯變換方程組。

3）消去中間變量，得到關(guān)于系統(tǒng)輸入、輸出變量之間關(guān)系的s域代數(shù)方程。

4）根據(jù)傳遞函數(shù)的定義，由輸出量的拉普拉斯變換與輸入量的拉普拉斯變換相比，就得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

如果已經(jīng)建立了系統(tǒng)的微分方程，則可在零初始條件下對(duì)微分方程進(jìn)行拉普拉斯變換，按定義得到其傳遞函數(shù)。

例2-6 試求例2-1中RC無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)U_y(s)/U_r(s)。

解：由例2-1中可知RC無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的微分方程為

在零初始條件下，對(duì)上述微分方程進(jìn)行拉普拉斯變換，得到

(Ts+1)U_y(s)=U_r(s)

其中輸入的拉普拉斯變換為U_r(s)=L[u_r(t)]，輸出的拉普拉斯變換為U_y(s)=L[u_y(t)]，由傳遞函數(shù)的定義，就得到RC無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為

例2-7 試求例2-2中彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)的傳遞函數(shù)Y(s)/F(s)。

解：由例2-2中可知彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)的微分方程為

在零初始條件下，對(duì)上述微分方程進(jìn)行拉普拉斯變換，得到

（ms2+fs+k）Y(s)=F(s)

其中，輸入的拉普拉斯變換為Y(s)=L[у(t)]，輸出的拉普拉斯變換為F(s)=L[F(t)]，由傳遞函數(shù)的定義，就得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

同樣可得例2-3機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

例2-8 試求例2-4電樞控制他勵(lì)直流電動(dòng)機(jī)的傳遞函數(shù)。

解：在例2-4中已求得電樞控制他勵(lì)直流電動(dòng)機(jī)簡(jiǎn)化后的微分方程式（2-13）為

式中，u_a(t)是電動(dòng)機(jī)電樞電壓；M_L(t)為負(fù)載干擾轉(zhuǎn)矩。電動(dòng)機(jī)有兩個(gè)作用在不同位置上的輸入量，一個(gè)是加在電樞電路輸入端的電樞電壓u_a(t)，另外一個(gè)是作用在電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)軸上的負(fù)載干擾轉(zhuǎn)矩M_L(t)，它們對(duì)輸出轉(zhuǎn)速ω(t)影響的信號(hào)通道不一樣。一個(gè)傳遞函數(shù)只表示一個(gè)輸入與一個(gè)輸出的關(guān)系，需要分別求出電樞電壓u_a(t)到輸出轉(zhuǎn)速ω(t)的傳遞函數(shù)和負(fù)載干擾轉(zhuǎn)矩M_L(t)到輸出轉(zhuǎn)速ω(t)的傳遞函數(shù)。

首先，在零初始條件下，對(duì)上式進(jìn)行拉普拉斯變換，得到以s為變量的拉普拉斯變換方程

然后，分別求取U_a(s)到Ω(s)和M_L(s)到Ω(s)的傳遞函數(shù)。令式（2-40）中M_L(s)=0，可得U_a(s)到Ω(s)的傳遞函數(shù)

令式（2-40）中U_a(s)=0，可得M_L(s)到Ω(s)的傳遞函數(shù)

因?yàn)閐θ(t)/dt=ω(t)，可得到U_a(s)到Θ(s)、M_L(s)到Θ(s)的傳遞函數(shù)分別為

2.由復(fù)阻抗求電路的傳遞函數(shù)

無(wú)源網(wǎng)絡(luò)和運(yùn)算放大器常用作控制系統(tǒng)的校正裝置，可以利用電路復(fù)阻抗概念，方便地求得它們的傳遞函數(shù)。

例2-9 求圖2-10所示RC無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)U_y(s)/U_r(s)。

解：在電路相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)中可知，電阻R的復(fù)阻抗為R，電容C的復(fù)阻抗為1/Cs，電感L的復(fù)阻抗為Ls。對(duì)于無(wú)源網(wǎng)絡(luò)，可以按照復(fù)阻抗的概念進(jìn)行傳遞函數(shù)的求取。設(shè)由C₁、C₂和R₂串并聯(lián)后的復(fù)阻抗為Z，Z兩端的電壓為U_Z(s)，則

由復(fù)阻抗分析法有

將式（2-45）代入式（2-46），有

無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的輸出電壓為

聯(lián)立式（2-47）和式（2-48），RC無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為

例2-10 求圖2-11和圖2-12所示運(yùn)算放大器的傳遞函數(shù)U_y(s)/U_r(s)。

解：在控制系統(tǒng)中，經(jīng)常使用由集成運(yùn)算放大器組成的放大器和控制器，典型的運(yùn)放電路如圖2-11所示，根據(jù)電子技術(shù)知識(shí)，可知A點(diǎn)是虛地點(diǎn)（U_A(s)≈0），所以有I₁(s)=-I₂(s)，即U_r(s)/Z₁=-U_y(s)/Z₂(s)，Z₁、Z₂分別為運(yùn)算放大器的輸入電路復(fù)阻抗、反饋電路復(fù)阻抗，由此可得電路的傳遞函數(shù)

在圖2-12所示的運(yùn)算放大器中，由式（2-50）可得

這是一個(gè)比例放大器，常用做控制器，稱為比例控制器。