1.2.1　無領(lǐng)航者的一致性

無領(lǐng)航者一致性問題是指MAS中所有個(gè)體具有同等的地位，個(gè)體通過局部信息交互實(shí)現(xiàn)整體狀態(tài)的統(tǒng)一。如果這個(gè)統(tǒng)一的狀態(tài)是靜止的，則稱之為會(huì)合（Rendezvous），控制目標(biāo)為：

式中，x_i∈?p為個(gè)體i的狀態(tài)，表示所有個(gè)體的集合。如果MAS的最終狀態(tài)是運(yùn)動(dòng)的或者時(shí)變的，則稱之為聚結(jié)（Flocking），其控制目標(biāo)為：

從控制目標(biāo)可以看出，會(huì)合是聚結(jié)的一種特殊情況。針對(duì)連續(xù)一階積分器系統(tǒng)，文獻(xiàn)［1］首先對(duì)無領(lǐng)航者一致性問題做出了科學(xué)的解釋，設(shè)計(jì)控制算法如式（1-2）。研究表明，MAS能否實(shí)現(xiàn)一致性和通信拓?fù)溆泻艽蟮年P(guān)系，文獻(xiàn)［10］利用一種構(gòu)造方法，證明了如果通信拓?fù)鋱D含有一個(gè)有向衍生樹，則MAS可實(shí)現(xiàn)漸進(jìn)一致性。對(duì)于一階積分器系統(tǒng)的無領(lǐng)航者一致性研究主要集中在通信拓?fù)淝袚Q和時(shí)延上，如文獻(xiàn)［11-15］等。另外，文獻(xiàn)［16］對(duì)同時(shí)含有時(shí)變時(shí)延和網(wǎng)絡(luò)切換的情況進(jìn)行了研究，得到了實(shí)現(xiàn)一致性的充分條件。對(duì)于離散系統(tǒng)，文獻(xiàn)［1］、［12］和［13］等分別進(jìn)行了研究，控制協(xié)議可歸納為：

　?。?-3）

式中，β_ij［k］=1，β_ij［k］>0，?j∈_i［k］∪{i}。其實(shí)質(zhì)是利用個(gè)體當(dāng)前狀態(tài)和其相鄰個(gè)體狀態(tài)的均值來更新下一時(shí)刻的狀態(tài)，如果個(gè)體在某一時(shí)刻沒有相鄰個(gè)體與之通信，則保持原來狀態(tài)不變，最終通過迭代使系統(tǒng)狀態(tài)趨近于由x₁=x₂=…=x_n刻畫的空間。

文獻(xiàn)［14］和［15］等將一階積分器系統(tǒng)的結(jié)果推廣到了二階積分器系統(tǒng)，如式（1-4）所示：

　?。?-4）

設(shè)計(jì)的分布式控制器為：

　?。?-5）

研究表明，對(duì)于二階積分器系統(tǒng)，通信拓?fù)渲泻杏邢蜓苌鷺溥@一單一條件并不能保證無領(lǐng)航者一致性的實(shí)現(xiàn)［15］。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［17］基于頻域分析方法，給出了進(jìn)一步的結(jié)果：通信拓?fù)涞腖aplacian矩陣，尤其是Laplacian矩陣特征值的實(shí)部和虛部對(duì)于系統(tǒng)的穩(wěn)定性發(fā)揮了重要的作用。同時(shí)，該文獻(xiàn)給出了控制器實(shí)現(xiàn)一致性的充分條件。不僅要求通信拓?fù)渲兄辽侔粋€(gè)有向衍生樹，而且對(duì)協(xié)調(diào)算法式（1-5）中的參數(shù)α和β有如下要求：

　?。?-6）

式中，I_m和R_e分別表示特征值的虛部和實(shí)部；μ_i為L(zhǎng)aplacian矩陣的非零特征值，i=2，…，n。對(duì)于同時(shí)含有時(shí)延和網(wǎng)絡(luò)切換的情況，文獻(xiàn)［18］設(shè)計(jì)了如下分布式協(xié)調(diào)算法：

　　（1-7）

式中，k>0，>0為恒定時(shí)延，并運(yùn)用LMI方法得到了一致性的充分條件，該條件依賴于各時(shí)刻通信拓?fù)涞臉?gòu)型和時(shí)延的大小。

在線性一階和二階積分器MAS系統(tǒng)研究成果基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［19-22］等對(duì)更為一般的線性MAS系統(tǒng)進(jìn)行了研究，即

　　（1-8）

式中，A、B、C為滿足一定條件的常數(shù)矩陣，對(duì)于此類系統(tǒng)的研究焦點(diǎn)集中在設(shè)計(jì)反饋控制律使得輸出狀態(tài)y_i達(dá)到一致性。容易發(fā)現(xiàn)，一階或二階積分器系統(tǒng)是式（1-8）的特殊形式。

對(duì)于非線性系統(tǒng)的無領(lǐng)航者一致性問題，也有很多文獻(xiàn)進(jìn)行了研究，比如，針對(duì)非線性振子［23］：

　?。?-9）

式中，θ_i∈?和w_i∈?分別為振子i的相位和頻率，K為控制增益。研究表明，通常情況下，K的取值對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性有重要的影響。

文獻(xiàn)［25］、［24］和［26］等針對(duì)非完整移動(dòng)機(jī)器人的聚結(jié)問題進(jìn)行了研究，其動(dòng)力學(xué)方程為：

　　（1-10）

式中，［x_i，y_i］為個(gè)體i的位置信息；w_i和u_i為系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)速度和平動(dòng)速度。由于此類系統(tǒng)有三個(gè)狀態(tài)、兩個(gè)輸入，動(dòng)態(tài)方程為欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，所以給一致性算法的設(shè)計(jì)和分析帶來了困難。

針對(duì)更為一般的復(fù)雜非線性網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，如式（1-11）所示：

　?。?-11）

式中，x_ι∈?p為個(gè)體i的狀態(tài)；f：?n→?n為非線性向量函數(shù)；=（a_ij）為外部關(guān)聯(lián)鄰接矩陣，如果個(gè)體i和個(gè)體j相連通，則a_ij=1，否則a_ij=0。Γ表示系統(tǒng)內(nèi)部各狀態(tài)分量之間的鉸鏈關(guān)系，文獻(xiàn)［27-29］等對(duì)此類問題進(jìn)行了深入的討論。

另外，對(duì)于本書的研究對(duì)象，即非線性EL系統(tǒng)（動(dòng)力學(xué)模型將在第2章給出），其無領(lǐng)航者的一致性問題也受到了廣泛的關(guān)注，文獻(xiàn)［35-40］等運(yùn)用無源性理論、收縮理論、Matrosov理論和Lyapunov穩(wěn)定性理論等對(duì)該問題進(jìn)行了研究。

需要指出的是，文獻(xiàn)［30-34］等研究了信號(hào)均值跟蹤問題，這類問題假設(shè)每個(gè)個(gè)體都有一個(gè)時(shí)變的參考量信號(hào)，用r_i（t）表示，個(gè)體i的狀態(tài)用x_i（t）表示。均值跟蹤問題的控制目的是所有個(gè)體狀態(tài)x_i（t）趨向這些參考量信號(hào)的均值，即

本書也將此類問題歸為無領(lǐng)航者一致性問題。