1.2.2　有領航者的一致性

與無領航者一致性不同，有領航者（leader-following）一致性假設存在一個或者多個領航者（leader），其控制目標是實現所有個體與領航者一致。如果領航者為靜態，則稱為Regulation問題。如果領航者的狀態是動態變化的，則稱之為動態跟蹤（dynamic tracking）問題。

regulation問題的控制目標為：

式中，c為常向量，動態跟蹤問題的控制目標為：

式中，v₀（t）為時變信號。

當MAS系統中有多個領航者存在時，有領航者的一致性問題常被稱為包含控制（containment control），其控制目標為：所有個體收斂到由領航者狀態組成的閉包中［41］。

文獻［1］基于Vicsek模型，利用“鄰近原則”對一階積分器系統的leader-following一致性問題進行了研究［42］，得到了分布式跟蹤算法。Hong等［43］對切換網絡拓撲下一階積分器MAS系統，提出了一種用觀測器來對領航者的速度進行估計的方法，并設計控制器如下：

　　（1-12）

式中，v_i通過相鄰個體的信息進行更新，更新律為：

　　（1-13）

式中，γ<1，a₀為領航者的已知加速度信息。研究表明，在控制協議式（1-12）的作用下，系統式（1-1）可實現對領航者的動態跟蹤。文獻［44］針對離散一階積分器的leader-following問題，給出了系統可控的充分條件，設計了如下分布式控制律：

　　（1-14）

同時，該文獻得到了一個很有意思的結論：對于靜態通信拓撲，如果領航者對每個個體施加相同的通信鉸鏈增益（coupling weights），那么即使通信網絡處于連通狀態，系統一致性也無法實現［44］。而文獻［45］和［46］也從圖論的角度對該問題進行了研究。

一階積分器系統的leader-following研究成果也被推廣到了更為一般的線性系統=Ax_i+Bu_i中，例如文獻［47］分別對靜態通信拓撲和聯合連通拓撲網絡下的跟蹤問題（其中leader的方程為=Ax₀）進行了研究，文中基于代數圖論、Riccati不等式和LMI不等式等方法，對系統的收斂性進行了分析。另外，對于非線性一階系統，文獻［48］根據領航者在通信拓撲中位置的不同，將領航者分為兩種不同的類型：“power”領航者和“knowledge”領航者，并對這兩種領航者對MAS系統的影響進行了分析。文中對兩種領航者的作用也進行了生動形象的解釋：“power”領航者負責告訴其他個體“往哪兒去？”，而“knowledge”領航者負責告訴其他個體“怎么走？”。

對于二階積分器系統的regulatioin問題，文獻［49］基于空間剖分（sapce decomposition）技術，通過構造共同Lyapunov函數的方法，得到了聯合連通（jointly-connected）網絡拓撲下的一致性充分條件，并設計如下控制算法：

　　（1-15）

式中，。文獻［50］首先將LaSalle定理進行了推廣，基于此推廣，對二階積分器系統的動態跟蹤問題進行了研究，設計了分布式控制器，但該控制器需要每個個體都知道領航者的速度信息，這對于分布式控制器的設計提出了較為苛刻的條件。為了克服這個問題，文獻［51］利用類似文獻［43］的方法，將一階積分器系統動態跟蹤問題的處理方法推廣到了二階積分器系統，設計控制器如下：

　　（1-16）

式中，k，l>0，a₀∈?p為領航者的加速度，觀測量的更新律為：

　　（1-17）

不難發現，算法式（1-16）盡管不要求每個個體都知道領航者的速度信息，但要求各個體都知道領航者的加速度信息。文獻［52］提出了一種基于有限時間滑模觀測器的跟蹤算法，該算法不要求每個個體都知道領航者的速度和加速度信息。針對二階積分器系統，存在虛擬領航者時，其編隊控制協議為：

　　（1-18）

式中，，δ_i為常向量，和分別為速度和加速度觀測量，更新律分別為：

　　（1-19）

　　（1-20）

式中，α和β為正常數，虛擬領航者的位置和速度狀態分別為x₀和v₀，，。如果個體i和領航者可以通信，a_i0>0，否則a_i0=0。

針對更為一般的非線性二階系統［53］，如式（1-21）所示：

　　（1-21）

其領航者的動態方程為（t）=v₀（t），（t）=f［x₀（t），v₀（t），t］，f：?n×?n×?+→?n為連續可微的非線性函數，c_i（t）為時變的控制增益，在領航者滿足‖f（x₀（t），v₀（t），t）‖_∞≤ρ₃，?t>0時，文獻［53］利用自適應方法和變結構方法，對系統的跟蹤問題進行了研究。在領航者滿足‖f（x₀（t），v₀（t），t）‖_∞≤ρ₃，?t>0時，MAS系統可實現動態跟蹤。

針對MAS中存在多個領航者時，文獻［54］首先提出一種基于“停-和-走”策略的控制協議，使得所有個體收斂到由領航者構成的凸多包形（converx polytope）中。接下來，文獻［55-59］和［38］等分別針對線性一階積分器、離散一階積分器、連續二階積分器系統和EL系統的包含控制問題進行了研究，得到了相關的結論。分析發現，包含控制問題實質上和單個leader的一致性問題是一樣的，不同的是包含控制的目標是所有個體收斂到由領航者形成的凸包中，而后者要求收斂到領航者的狀態。