1.2.2　有領(lǐng)航者的一致性

與無領(lǐng)航者一致性不同，有領(lǐng)航者（leader-following）一致性假設(shè)存在一個(gè)或者多個(gè)領(lǐng)航者（leader），其控制目標(biāo)是實(shí)現(xiàn)所有個(gè)體與領(lǐng)航者一致。如果領(lǐng)航者為靜態(tài)，則稱為Regulation問題。如果領(lǐng)航者的狀態(tài)是動(dòng)態(tài)變化的，則稱之為動(dòng)態(tài)跟蹤（dynamic tracking）問題。

regulation問題的控制目標(biāo)為：

式中，c為常向量，動(dòng)態(tài)跟蹤問題的控制目標(biāo)為：

式中，v₀（t）為時(shí)變信號(hào)。

當(dāng)MAS系統(tǒng)中有多個(gè)領(lǐng)航者存在時(shí)，有領(lǐng)航者的一致性問題常被稱為包含控制（containment control），其控制目標(biāo)為：所有個(gè)體收斂到由領(lǐng)航者狀態(tài)組成的閉包中［41］。

文獻(xiàn)［1］基于Vicsek模型，利用“鄰近原則”對(duì)一階積分器系統(tǒng)的leader-following一致性問題進(jìn)行了研究［42］，得到了分布式跟蹤算法。Hong等［43］對(duì)切換網(wǎng)絡(luò)拓?fù)湎乱浑A積分器MAS系統(tǒng)，提出了一種用觀測(cè)器來對(duì)領(lǐng)航者的速度進(jìn)行估計(jì)的方法，并設(shè)計(jì)控制器如下：

　　（1-12）

式中，v_i通過相鄰個(gè)體的信息進(jìn)行更新，更新律為：

　　（1-13）

式中，γ<1，a₀為領(lǐng)航者的已知加速度信息。研究表明，在控制協(xié)議式（1-12）的作用下，系統(tǒng)式（1-1）可實(shí)現(xiàn)對(duì)領(lǐng)航者的動(dòng)態(tài)跟蹤。文獻(xiàn)［44］針對(duì)離散一階積分器的leader-following問題，給出了系統(tǒng)可控的充分條件，設(shè)計(jì)了如下分布式控制律：

　?。?-14）

同時(shí)，該文獻(xiàn)得到了一個(gè)很有意思的結(jié)論：對(duì)于靜態(tài)通信拓?fù)?，如果領(lǐng)航者對(duì)每個(gè)個(gè)體施加相同的通信鉸鏈增益（coupling weights），那么即使通信網(wǎng)絡(luò)處于連通狀態(tài)，系統(tǒng)一致性也無法實(shí)現(xiàn)［44］。而文獻(xiàn)［45］和［46］也從圖論的角度對(duì)該問題進(jìn)行了研究。

一階積分器系統(tǒng)的leader-following研究成果也被推廣到了更為一般的線性系統(tǒng)=Ax_i+Bu_i中，例如文獻(xiàn)［47］分別對(duì)靜態(tài)通信拓?fù)浜吐?lián)合連通拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)下的跟蹤問題（其中l(wèi)eader的方程為=Ax₀）進(jìn)行了研究，文中基于代數(shù)圖論、Riccati不等式和LMI不等式等方法，對(duì)系統(tǒng)的收斂性進(jìn)行了分析。另外，對(duì)于非線性一階系統(tǒng)，文獻(xiàn)［48］根據(jù)領(lǐng)航者在通信拓?fù)渲形恢玫牟煌?，將領(lǐng)航者分為兩種不同的類型：“power”領(lǐng)航者和“knowledge”領(lǐng)航者，并對(duì)這兩種領(lǐng)航者對(duì)MAS系統(tǒng)的影響進(jìn)行了分析。文中對(duì)兩種領(lǐng)航者的作用也進(jìn)行了生動(dòng)形象的解釋：“power”領(lǐng)航者負(fù)責(zé)告訴其他個(gè)體“往哪兒去？”，而“knowledge”領(lǐng)航者負(fù)責(zé)告訴其他個(gè)體“怎么走？”。

對(duì)于二階積分器系統(tǒng)的regulatioin問題，文獻(xiàn)［49］基于空間剖分（sapce decomposition）技術(shù)，通過構(gòu)造共同Lyapunov函數(shù)的方法，得到了聯(lián)合連通（jointly-connected）網(wǎng)絡(luò)拓?fù)湎碌囊恢滦猿浞謼l件，并設(shè)計(jì)如下控制算法：

　?。?-15）

式中，。文獻(xiàn)［50］首先將LaSalle定理進(jìn)行了推廣，基于此推廣，對(duì)二階積分器系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)跟蹤問題進(jìn)行了研究，設(shè)計(jì)了分布式控制器，但該控制器需要每個(gè)個(gè)體都知道領(lǐng)航者的速度信息，這對(duì)于分布式控制器的設(shè)計(jì)提出了較為苛刻的條件。為了克服這個(gè)問題，文獻(xiàn)［51］利用類似文獻(xiàn)［43］的方法，將一階積分器系統(tǒng)動(dòng)態(tài)跟蹤問題的處理方法推廣到了二階積分器系統(tǒng)，設(shè)計(jì)控制器如下：

　?。?-16）

式中，k，l>0，a₀∈?p為領(lǐng)航者的加速度，觀測(cè)量的更新律為：

　?。?-17）

不難發(fā)現(xiàn)，算法式（1-16）盡管不要求每個(gè)個(gè)體都知道領(lǐng)航者的速度信息，但要求各個(gè)體都知道領(lǐng)航者的加速度信息。文獻(xiàn)［52］提出了一種基于有限時(shí)間滑模觀測(cè)器的跟蹤算法，該算法不要求每個(gè)個(gè)體都知道領(lǐng)航者的速度和加速度信息。針對(duì)二階積分器系統(tǒng)，存在虛擬領(lǐng)航者時(shí)，其編隊(duì)控制協(xié)議為：

　?。?-18）

式中，，δ_i為常向量，和分別為速度和加速度觀測(cè)量，更新律分別為：

　?。?-19）

　　（1-20）

式中，α和β為正常數(shù)，虛擬領(lǐng)航者的位置和速度狀態(tài)分別為x₀和v₀，，。如果個(gè)體i和領(lǐng)航者可以通信，a_i0>0，否則a_i0=0。

針對(duì)更為一般的非線性二階系統(tǒng)［53］，如式（1-21）所示：

　?。?-21）

其領(lǐng)航者的動(dòng)態(tài)方程為（t）=v₀（t），（t）=f［x₀（t），v₀（t），t］，f：?n×?n×?+→?n為連續(xù)可微的非線性函數(shù)，c_i（t）為時(shí)變的控制增益，在領(lǐng)航者滿足‖f（x₀（t），v₀（t），t）‖_∞≤ρ₃，?t>0時(shí)，文獻(xiàn)［53］利用自適應(yīng)方法和變結(jié)構(gòu)方法，對(duì)系統(tǒng)的跟蹤問題進(jìn)行了研究。在領(lǐng)航者滿足‖f（x₀（t），v₀（t），t）‖_∞≤ρ₃，?t>0時(shí)，MAS系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)跟蹤。

針對(duì)MAS中存在多個(gè)領(lǐng)航者時(shí)，文獻(xiàn)［54］首先提出一種基于“停-和-走”策略的控制協(xié)議，使得所有個(gè)體收斂到由領(lǐng)航者構(gòu)成的凸多包形（converx polytope）中。接下來，文獻(xiàn)［55-59］和［38］等分別針對(duì)線性一階積分器、離散一階積分器、連續(xù)二階積分器系統(tǒng)和EL系統(tǒng)的包含控制問題進(jìn)行了研究，得到了相關(guān)的結(jié)論。分析發(fā)現(xiàn)，包含控制問題實(shí)質(zhì)上和單個(gè)leader的一致性問題是一樣的，不同的是包含控制的目標(biāo)是所有個(gè)體收斂到由領(lǐng)航者形成的凸包中，而后者要求收斂到領(lǐng)航者的狀態(tài)。