1.3　無網格方法

無網格方法產生于四十多年以前,當時發展很慢,直到近幾年,由于無網格方法的近似函數不依賴于網格,在分析涉及大變形的問題中被認為優于傳統的基于網格的有限差分法和有限元法,才受到了眾多研究者的高度重視,成為國際計算仿真界的研究熱點之一,并得到了迅速的發展^[2]。

無網格方法的主要思想是:通過使用一系列任意分布的節點(或粒子)來求解具有各種邊界條件的積分方程或偏微分方程組,從而得到精確穩定的數值解,這些節點或粒子之間不需要通過網格進行連接。由于無網格法采用基于點的近似,可以徹底或部分地消除網格,不需要網格的初始劃分和重構,因此不僅可以保證計算的精度,而且可以減小計算的難度。經過幾十年的研究,目前已發展了十余種無網格方法。

最早提出的無網格方法是光滑粒子動力學方法(smoothed particle hydrodynamics,SPH),它是由Lucy、Gingold和Monaghan在1977年分別提出的,并且在天體物理領域得到成功的應用^[3,4]。但是由于精度和穩定性問題,該方法最初并未得到廣泛的應用。20世紀80年代,Monaghan等人在該方法的研究與應用中作出突出貢獻^[5,6],將光滑粒子動力學方法應用到連續固體力學和流體力學中,他們將SPH方法解釋為核函數法,模擬了流場中的激波強間斷現象。20世紀90年代,Swegle、Dyka和Chen等人提出了SPH方法不穩定的原因及穩定化方法^[7?9],Johnson和Beissel等人也提出了一些用來改善應變計算的方法^[10]。隨著研究的深入,SPH方法被應用于水下爆炸數值仿真^[11]、高速碰撞中材料動態響應數值仿真等領域^[12?14]。近二十年來,我國的學者也開始關注SPH計算方法,中科院的張鎖春對SPH方法進行了綜述^[15],國防科技大學的鄧方剛研究了SPH在柱坐標系下的應用^[16]。國防科技大學的貝新源、岳宗五等將SPH方法用于高速碰撞問題的研究^[17]。

1980年,Liszka和Orkisz提出一種廣義的有限差分法,這種方法可以處理任意不規則的網格^[18]。1996年,Onate等利用移動最小二乘法來構造近似函數,并采用配點格式進行離散,提出了有限點法(the finite point method,FPM)^[19?21],該方法不需要背景網格,主要應用于流體動力學領域。

1992年,Nayroles等人首次在伽遼金方法中引入了移動最小二乘法,得出具有C¹連續性的近似解,形成了一種全新的方法——離散元法(diffuse element method,DEM)^[22],并用此方法分析了Possion方程和彈性問題。

1994年,美國西北大學的Belytschko等人對離散元方法進行了兩點改進,在計算形函數導數時保留了被Nayroles忽略掉的所有項,并利用拉格朗日乘子法引入本質邊界條件,提出了無單元伽遼金法(the element?free galerkin method,EFG)^[23],并給出了誤差估計^[24]。EFG方法比SPH方法計算費用高,但具有較好的協調性及穩定性。EFG方法是目前廣泛使用的無網格方法之一,通過使用背景網格,應用于許多固體力學問題中^[25?27]。Belytschko和Tabbara等人將EFG方法用于動態裂紋擴展的數值模擬^[28?32],克服了有限元方法在模擬裂紋擴展時需不斷進行網格重新劃分的缺點,在計算中可以連續地進行模擬。Belytschko、Organ和Hegen等人對EFG方法和有限元方法的耦合使用進行了研究,并將其用于邊界條件的處理^[33?35]。另外,Belytschko和Krysl等人還將EFG用于三維撞擊和流體晃動分析^[36]。

Atluri和Zhu提出了無網格局部Petrov?Galerkin(MLPG)法,這種方法需要使用局部背景網格進行積分^[37]。由于MLPG方法不需要使用全局背景網格進行積分,所以被廣泛地應用于梁結構和板結構的分析^[38?40]、流體流動問題^[41,42]和其他力學問題中。

美國西北大學的W.K.Liu和其合作伙伴通過研究SPH方法的一致性條件和再生性條件,根據函數積分變換的思想,提出了再生核粒子法(RKPM),這種方法提高了SPH近似的精度,特別是在邊界附近的精度^[43?45],結合小波理論,構造了多尺度再生核粒子法(MRKPM)^[46?49]。MRKPM利用小波函數的多尺度分析思想,構造了一系列可同時伸縮和平移的窗函數,實現了RKPM的自適應分析,可對局部進行細致的數值分析。使用RKPM方法,W.K.Liu對大量流體力學問題進行了數值分析^[50?52]。

G.R.Liu和其同事在一系列的文章中發展了點插值法(PIM)及其一些派生方法^[53,54]。最近,在結合弱?強形式的基礎上又提出了一種無網格弱?強形式方程(MWS)^[55,56]。

Duarte和Oden利用移動最小二乘法建立了單位分解函數,在此基礎上構造權函數和試函數,再通過Galerkin法建立離散格式,提出了Hp云團(clouds)法^[57]。

Ohs用重構核函數近似和配點法,提出了無網格配點法(meshless point collocation method,PCM)^[58],并用于分析壓電元件。

2001年,張雄等人基于最小二乘法提出了最小二乘配點無網格法^[59]和加權最小二乘無網格法^[60]。該類方法的計算精度遠高于配點法,而計算量小于Galerkin法,兼有Galerkin法和配點法的優點。

目前已提出了十余種無網格方法,它們之間的區別主要在于所使用的試探函數(如移動最小二乘近似、重構核函數近似、單位分解法、徑向基函數、點插值法等)和微分方程的等效形式(如伽遼金法、配點法、最小二乘法、Petrov?Galerkin法等)不同。例如EFG和RKPM都采用了伽遼金法,但EFG用移動最小二乘法建立試探函數,而RKPM用重構核近似建立試探函數。

所有這些無網格法都有其優缺點,有些方法還不是很成熟,需要進一步的研究,一些典型的無網格方法如表1?1所示。

無網格粒子法通過使用一系列有限數量的離散點來描述系統的狀態和記錄系統的運動。每個粒子擁有一系列場變量,如質量、動量、能量和位置等。粒子近似是通過使用對粒子有影響的所有相鄰粒子的信息對粒子處的值來進行的,粒子影響的區域由影響域或支持域來決定。一些典型的粒子法或類似粒子法的方法如表1?2所示。