1.2　基于網格的方法

數值計算方法通常可以分為兩種:基于網格的方法和無網格方法。通常對于物理控制方程的描述有兩種基本方法:歐拉描述法和拉格朗日描述法。歐拉描述法是對空間的描述方法,其典型代表是有限差分法;拉格朗日描述法是對物質點的描述方法,其典型代表是有限元法。歐拉描述和拉格朗日描述對應著兩種不同的區域離散化網格:歐拉網格和拉格朗日網格。針對不同類型的問題,這兩種網格在數值方法中都得到廣泛應用。

1.2.1　拉格朗日網格

基于拉格朗日網格的數值方法在整個計算過程中網格是固定或附著于物質上的,網格會隨著物質的運動而運動,所以在物質點上的所有場變量的整個時間歷程都可以很容易地追蹤,常見的方法如有限元法等。

基于拉格朗日網格方法的優點是:由于在相關的偏微分方程里不存在遷移項,所以程序在方案設計上會變得相對簡單,而且運行較快;由于只需在問題域內布置網格,問題域外不需要布置,所以計算效率很高;不規則或者復雜的幾何形狀可以用不規則的網格來處理。由于具有以上這些優點,拉格朗日方法得到廣泛的應用,并且能成功地求解計算固體力學問題。

然而,基于拉格朗日網格的方法難以應用于具有極大網格變形的情況,因為其公式的形式是以網格為基礎的,當網格變形太大的時候,公式的精度和求解都會受到很大的影響。另外,由于時間步長是由最小單元尺寸所控制的,若網格太小就會影響計算的效率,甚至會導致計算失敗。

1.2.2　歐拉網格

相對于拉格朗日網格,歐拉網格剛好相反,它是固定在模擬對象所處的空間上的,模擬對象在固定網格單元上運動。因此,在物質流過網格時,所有網格節點和網格單元依然固定在空間上而且不會隨時間的改變而改變。通過模擬質量、動量和能量經過網格單元邊界的通量,可以計算質量、速度和能量等的分布。在整個計算過程中網格單元的形狀和體積都保持不變^[1]。

由于歐拉網格在時間和空間上都是固定的,物體的大變形不會引起網格本身的任何變化,所以在以物質流動為主體的計算流體力學的領域里,較為廣泛應用的是歐拉法。

但是,歐拉法仍然有很多缺點。由于歐拉法不能用固定網格來追蹤物質的運動,所以很難分析物質上固定點的場變量的變化情況而只能得到空間上固定的歐拉網格的場變量的變化情況;由于歐拉法追蹤的是流過網格單元邊界的質量、動量和能量的通量,所以自由表面、變形邊界和運動物質交界面的位置就很難精確確定;由于歐拉法需要在整個計算區域上都覆蓋網格,所以有時為了提高計算效率而使用較粗糙的網格,這樣就會降低離散化區域的求解精度。

1.2.3　基于網格的數值方法的局限性

傳統的基于網格的數值方法如有限差分法和有限元法已經廣泛地應用于計算流體力學和計算固體力學的各個領域中,是現在進行區域離散化和數值離散化模擬的主要方法。但是基于網格的數值方法在很多方面仍存在不足之處,比如在計算流體動力學中的大變形、運動物質交界面、自由表面等問題時,由于網格產生畸變導致計算誤差過大或無法進行計算,使其在許多問題的應用上受到限制。

在基于網格的數值方法中,數值模擬的先決條件就是在問題域生成網格。對于基于歐拉網格的方法,在固定的歐拉網格上要精確確定自由表面、變形邊界、運動交界面和不均勻物質之間的位置是一項非常困難的工作。而且歐拉方法也不適用于研究如粒子流動這類問題,即需要在固定的物質體內監控材料特性的問題。對于拉格朗日網格法如有限元法,進行模擬前必須要在研究對象上建立網格,這項操作常常占用很大的計算工作量。當所研究對象是一系列離散的物質點時,同樣不適合使用基于網格的方法,用連續的基于網格的方法對這些離散系統進行模擬通常不是好的選擇。

在計算大變形問題時,比如高速碰撞、金屬加工成型、動態裂紋擴展、流固耦合和應變局部化等,基于網格的方法遇到的困難更大。原因是發生大變形時,網格畸變過大,使得計算中斷,有限元方法通常采用單元“消蝕”法或網格重分技術來克服這種困難。但是單元“消蝕”法本身缺乏物理依據,純粹是為了使計算進行下去的一種數值手段。而網格重分技術在節點重新分配物理量時,很難保證系統動量、能量守恒,因而導致計算的精度下降。此外,網格重分技術不是很容易實現,為了更好地解決大變形問題,必須對網格有新的處理方法或去除網格,所以各種無網格方法相繼被提出來。