1.2　基于網(wǎng)格的方法

數(shù)值計算方法通常可以分為兩種:基于網(wǎng)格的方法和無網(wǎng)格方法。通常對于物理控制方程的描述有兩種基本方法:歐拉描述法和拉格朗日描述法。歐拉描述法是對空間的描述方法,其典型代表是有限差分法;拉格朗日描述法是對物質(zhì)點的描述方法,其典型代表是有限元法。歐拉描述和拉格朗日描述對應(yīng)著兩種不同的區(qū)域離散化網(wǎng)格:歐拉網(wǎng)格和拉格朗日網(wǎng)格。針對不同類型的問題,這兩種網(wǎng)格在數(shù)值方法中都得到廣泛應(yīng)用。

1.2.1　拉格朗日網(wǎng)格

基于拉格朗日網(wǎng)格的數(shù)值方法在整個計算過程中網(wǎng)格是固定或附著于物質(zhì)上的,網(wǎng)格會隨著物質(zhì)的運動而運動,所以在物質(zhì)點上的所有場變量的整個時間歷程都可以很容易地追蹤,常見的方法如有限元法等。

基于拉格朗日網(wǎng)格方法的優(yōu)點是:由于在相關(guān)的偏微分方程里不存在遷移項,所以程序在方案設(shè)計上會變得相對簡單,而且運行較快;由于只需在問題域內(nèi)布置網(wǎng)格,問題域外不需要布置,所以計算效率很高;不規(guī)則或者復(fù)雜的幾何形狀可以用不規(guī)則的網(wǎng)格來處理。由于具有以上這些優(yōu)點,拉格朗日方法得到廣泛的應(yīng)用,并且能成功地求解計算固體力學(xué)問題。

然而,基于拉格朗日網(wǎng)格的方法難以應(yīng)用于具有極大網(wǎng)格變形的情況,因為其公式的形式是以網(wǎng)格為基礎(chǔ)的,當(dāng)網(wǎng)格變形太大的時候,公式的精度和求解都會受到很大的影響。另外,由于時間步長是由最小單元尺寸所控制的,若網(wǎng)格太小就會影響計算的效率,甚至?xí)?dǎo)致計算失敗。

1.2.2　歐拉網(wǎng)格

相對于拉格朗日網(wǎng)格,歐拉網(wǎng)格剛好相反,它是固定在模擬對象所處的空間上的,模擬對象在固定網(wǎng)格單元上運動。因此,在物質(zhì)流過網(wǎng)格時,所有網(wǎng)格節(jié)點和網(wǎng)格單元依然固定在空間上而且不會隨時間的改變而改變。通過模擬質(zhì)量、動量和能量經(jīng)過網(wǎng)格單元邊界的通量,可以計算質(zhì)量、速度和能量等的分布。在整個計算過程中網(wǎng)格單元的形狀和體積都保持不變^[1]。

由于歐拉網(wǎng)格在時間和空間上都是固定的,物體的大變形不會引起網(wǎng)格本身的任何變化,所以在以物質(zhì)流動為主體的計算流體力學(xué)的領(lǐng)域里,較為廣泛應(yīng)用的是歐拉法。

但是,歐拉法仍然有很多缺點。由于歐拉法不能用固定網(wǎng)格來追蹤物質(zhì)的運動,所以很難分析物質(zhì)上固定點的場變量的變化情況而只能得到空間上固定的歐拉網(wǎng)格的場變量的變化情況;由于歐拉法追蹤的是流過網(wǎng)格單元邊界的質(zhì)量、動量和能量的通量,所以自由表面、變形邊界和運動物質(zhì)交界面的位置就很難精確確定;由于歐拉法需要在整個計算區(qū)域上都覆蓋網(wǎng)格,所以有時為了提高計算效率而使用較粗糙的網(wǎng)格,這樣就會降低離散化區(qū)域的求解精度。

1.2.3　基于網(wǎng)格的數(shù)值方法的局限性

傳統(tǒng)的基于網(wǎng)格的數(shù)值方法如有限差分法和有限元法已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于計算流體力學(xué)和計算固體力學(xué)的各個領(lǐng)域中,是現(xiàn)在進行區(qū)域離散化和數(shù)值離散化模擬的主要方法。但是基于網(wǎng)格的數(shù)值方法在很多方面仍存在不足之處,比如在計算流體動力學(xué)中的大變形、運動物質(zhì)交界面、自由表面等問題時,由于網(wǎng)格產(chǎn)生畸變導(dǎo)致計算誤差過大或無法進行計算,使其在許多問題的應(yīng)用上受到限制。

在基于網(wǎng)格的數(shù)值方法中,數(shù)值模擬的先決條件就是在問題域生成網(wǎng)格。對于基于歐拉網(wǎng)格的方法,在固定的歐拉網(wǎng)格上要精確確定自由表面、變形邊界、運動交界面和不均勻物質(zhì)之間的位置是一項非常困難的工作。而且歐拉方法也不適用于研究如粒子流動這類問題,即需要在固定的物質(zhì)體內(nèi)監(jiān)控材料特性的問題。對于拉格朗日網(wǎng)格法如有限元法,進行模擬前必須要在研究對象上建立網(wǎng)格,這項操作常常占用很大的計算工作量。當(dāng)所研究對象是一系列離散的物質(zhì)點時,同樣不適合使用基于網(wǎng)格的方法,用連續(xù)的基于網(wǎng)格的方法對這些離散系統(tǒng)進行模擬通常不是好的選擇。

在計算大變形問題時,比如高速碰撞、金屬加工成型、動態(tài)裂紋擴展、流固耦合和應(yīng)變局部化等,基于網(wǎng)格的方法遇到的困難更大。原因是發(fā)生大變形時,網(wǎng)格畸變過大,使得計算中斷,有限元方法通常采用單元“消蝕”法或網(wǎng)格重分技術(shù)來克服這種困難。但是單元“消蝕”法本身缺乏物理依據(jù),純粹是為了使計算進行下去的一種數(shù)值手段。而網(wǎng)格重分技術(shù)在節(jié)點重新分配物理量時,很難保證系統(tǒng)動量、能量守恒,因而導(dǎo)致計算的精度下降。此外,網(wǎng)格重分技術(shù)不是很容易實現(xiàn),為了更好地解決大變形問題,必須對網(wǎng)格有新的處理方法或去除網(wǎng)格,所以各種無網(wǎng)格方法相繼被提出來。