1.1　數值仿真

1.1.1　數值仿真的作用

在科學研究和工程應用中,復雜的問題一般通過理論分析、做實驗或者用計算機進行數值仿真來解決。理論分析方法往往要求將問題簡化成特殊情況,采用數學推演的方式求解控制方程,才能得出解析解。對于非線性情況,只有少數問題能得到解析解,所以理論分析方法的使用范圍受到了很大限制。雖然實驗方法得到的結果非常真實,但是實驗通常要受到各種客觀條件的影響,比如人力、物力和財力等。因此,實驗方法也只能適用一些簡單問題的研究,而對很多復雜的系統工程問題很難予以解決,無法滿足工程實際問題的需要。

數值仿真方法則克服了前面兩種方法的弱點,它將實際問題轉換為數學描述下的離散形式,使用計算機重新構造和求解問題,再根據分析人員的需求客觀地揭示現象。這種數值方法借助不斷發展的計算機能力,從初始問題的所有細節開始,不需要對求解的問題做太多的假設,優于在假設和近似基礎上進行理論構造的方法。數值仿真為科學研究提供了一個變通的工具,可以代替在實驗室或者工地進行的昂貴、費時甚至危險的實驗。對于不能通過直接計算、觀察或者其他方法獲得的比較具體而且完整的信息,數值計算比傳統的實驗方法更加實用。

數值仿真作為實驗驗證和理論分析之間的橋梁,隨著計算機軟硬件的發展,在科學研究中的作用越來越重要,已經逐漸成為解決復雜問題的一種重要的手段,數值仿真和理論分析、實驗之間的聯系如圖1?1所示。

1.1.2　數值仿真一般求解過程

數值仿真方法首先將復雜物理現象進行分析,提取其中重要的物理特性進行一些可行的簡化和假設,然后建立起數學模型,這些數學模型一般是用具有邊界條件的控制方程來描述。這些方程包括連續方程、動量方程、能量方程、本構方程、狀態方程等,然后把連續的微分方程組離散,最后通過計算機求解離散方程組獲得問題的近似解。數值仿真的一般求解過程如圖1?2所示。

對控制方程進行數值求解,必須將問題域的幾何結構進行離散化,對問題域進行離散化的方法因數值方法的不同而各不相同。區域離散化將連續的問題域離散化為有限數量的單元,數值近似的精度取決于所劃分單元的大小和形狀;數值離散化以函數近似理論為基礎,將控制方程的積分或者導數運算的連續形式轉換為離散化形式。在區域離散化和數值離散化后,初始的物理方程被轉換為一系列可用現有的數值方法進行求解的代數方程或常微分方程。

在流體力學問題的數值仿真過程中,控制方程一般通過三個守恒定律來建立。由三個基本守恒定律、邊界條件、材料特性和初始狀態可以完全地確定流體的行為特性。這些物理定律可以通過一些基本的數學方程也就是控制方程來表示,一般情況下控制方程為偏微分方程。為了得到控制方程或者偏微分方程的解,先將積分或微分方程中的積分或微分操作離散化,通常是離散為簡單的代數求和形式,然后用離散化的表達式在空間上近似積分或微分方程中的相應部分。這種近似將得到一系列代數方程或者僅僅與時間導數相關的常微分方程,通過求解這一系列方程組可以得到離散點在時間或者空間上場函數的數值,如密度、壓力、速度等。典型的CFD(計算流體動力學)問題的數值仿真包括以下因素:

① 由質量、動量、能量方程組成的控制方程;

② 合適的邊界條件或初始條件;

③ 數值離散化方式;

④ 求解代數方程或常微分方程的數值方法。