2.3　圖像像素間的關系

像素間的關系主要指像素與像素之間的關聯，理解像素間的關系是學習圖像處理的必要準備，其中主要包括鄰域關系，鄰接性、連通性，區域、邊界的概念，以及今后要用到的一些常見距離度量方法。正如前面提到的，一幅圖像用f(x,y)表示。在本節中，當我們指特殊像素時用小寫字母，如p和q。

2.3.1　鄰域關系

鄰域關系用于描述相鄰像素之間的相鄰關系，包括4鄰域、8鄰域、D鄰域等類型。假定位于坐標(x,y)的一個像素p有4個水平和垂直的相鄰像素，如圖2.9所示，相應坐標如式（2.3）所示。

(x+1,y),(x?1,y),(x,y+1),(x,y?1)　?。?.3）

這個像素集就稱為p的4鄰域，用N₄(p)表示。而8鄰域就是除了水平和垂直外，還加上了斜方向的四個像素點。D鄰域的像素點在(x,y)的四個角。每個像素距(x,y)一個單位距離，如果(x,y)位于圖像的邊界，則N₄(p)和N₈(p)中的某些點可能落入圖像外部。

2.3.2　鄰接性、連通性、區域和邊界

（1）鄰接性

定義V是用于定義鄰接性的灰度值集合，它是一種相似性的度量，用于確定所需判斷鄰接性的像素之間的相似程度。在二值圖像中，如果把具有1值的像素歸入鄰接，則V={1}，此時鄰接性完全由位置決定。對于灰度圖像，概念是一樣的，但是集合V一般包含更多元素。例如，對于那些可能性比較大的灰度值的像素鄰接性，集合V可能是這256個值（0～255）的任何一個子集。這里考慮三種類型的鄰接性：

①4鄰接：如果q在N₄(p)集中，則具有V中數值的兩個像素p和q是4鄰接的。

②8鄰接：如果q在N₈(p)集中，則具有V中數值的兩個像素p和q是8鄰接的。

③m鄰接（混合鄰接）：如果q在N₄(p)中，或者q在N_D(p)中且集合N₄(p)∩N₄(p)沒有V值像素，則具有V值的像素p和q是m鄰接的。

混合鄰接是8鄰接的改進?；旌相徑拥囊胧菫榱讼捎?鄰接常常發生的二義性。例如，考慮圖2.10對于V={1}所示的像素位置排列。位于圖2.10（b）上部的三個像素顯示了多重（二義性）8鄰接，如虛線所示。這種二義性可以通過m鄰接消除，如圖2.10（c）所示。

（2）連通性

從具有坐標(x,y)的像素p到具有坐標（s,）t的像素q的通路（或曲線）是特定的像素序列，其坐標為：

（x₀,y₀）,（x₁,y₁）,…,（x_n,y_n）　?。?.4）

其中(x₀,y₀)=(x,y),(x_n,y_n)=(s,t)并且像素(x_i,y_i)和(x_i?1,y_i?1)（對于1≤i≤n）是鄰接的。在這種情況下，n是通路的長度。如果(x₀,y₀)=(x_n,y_n)，則通路是閉合通路?？梢砸罁囟ǖ泥徑宇愋投x4、8或m鄰接。如圖2.10（b）所示，東北角點和東南角點之間的通路是8通路，而圖2.10（c）中的通路是m通路。注意在m通路中不存在二義性。

令S代表一幅圖像中像素的子集。如果在S中全部像素之間存在一個通路，則可以說兩個像素p和q在S中是連通的。對于S中的任何像素p,S中連通到該像素的像素集稱為S的連通分量。如果S僅有一個連通分量，則集合S稱為連通集。

（3）區域和邊界

區域的定義是建立在連通集的基礎上的，令R是圖像中的像素子集。如果R是連通集，則稱R為一個區域。

一個區域R的邊界（也稱為邊緣或輪廓）是區域中像素的集合，該區域有一個或多個不在R中的鄰點。顯然，如果R是整幅圖像（我們設這幅圖像是像素的方形集合），則邊界由圖像首行、首列、末行和末列定義。因而，正常情況下，當我們提到一個區域時，指的是一幅圖像的子集，并包括區域的邊緣。而區域的邊緣（Edge）由具有某些導數值的像素組成，是一個像素及其直接鄰域的局部性質，是一個有大小和方向屬性的矢量。

邊界和邊緣是不同的。邊界是和區域有關的全局概念，而邊緣表示圖像函數的局部性質。

2.3.3　像素之間的距離

對于像素p、q和z，其坐標分別為(x,y)、(s,t)和(v,w)，如果函數D滿足距離三要素，即：

①非負性，D(p,q)≥0[D(p,q)=0，當且僅當p=q]

②對稱性，D(p,q)=D(q,p)

③三角不等式，D(p,z)≤D(p,q)+D(q,z)

則稱函數D為有效距離函數或度量，常用的像素間距離度量包括歐式距離、D₄距離（城市距離）及D₈距離（棋盤距離）。

p和q間的歐式距離定義如下：

　?。?.5）

距點(x,y)的距離小于或等于某一值r的像素是中心在(x,y)且半徑為r的圓平面。

p和q間的距離D₄如式（2.6）定義：

D₄(p,q)=|x?s|+|y?t|　　（2.6）

在這種情況下，距(x,y)的D₄距離小于或等于某一值r的像素形成一個中心在(x,y)的菱形。例如，距(x,y)的D₄距離小于或等于2的像素形成固定距離的下列輪廓：

具有D₄=1的像素是(x,y)的4鄰域。

p和q間的D₈距離（又稱棋盤距離）定義為式（2.7）：

D_s(p,q)=max(|x?s|,|y?t|)　　（2.7）

在這種情況下，距(x,y)的D₈距離小于或等于某一值r的像素形成中心在(x,y)的方形。例如，距點(x,y)（中心點）的D₈距離小于或等于2的像素形成下列固定距離的輪廓：

具有D₈=1的像素點是關于(x,y)的8鄰域。

注意，p和q之間的D₄和D₈距離與任何通路無關，通路可能存在于各點之間，因為這些距離僅與點的坐標有關。然而，如果選擇考慮m鄰接，則兩點間的D_m距離用點間最短的通路定義。在這種情況下，兩像素間的距離將依賴于沿通路的像素值及其鄰點值。例如，考慮下列安排的像素并假設p、p₂和p₄的值為1，p₁和p₃的值為0或1：

假設考慮值為1的像素鄰接（即V={1})。如果p₁和p₃是0，則p和p₄最短m通路的長度（D_m距離）是2。如果p₁是1，則p₂和p將不再是m鄰接（見m鄰接的定義），并且m通路的長度變為3（通路通過點p、p₁、p₂、p₄）。類似地，如果p₃是1（并且p₁為0），則最短的通路距離也是3。最后，如果p₁和p₃都為1，則p和p₄間的最短m通路長度為4，在這種情況下，通路通過點p、p₁、p₂、p₃、p₄。