2.4　圖像灰度直方圖

對一幅圖像，若對應于每一個灰度值，統計出具有該灰度值的像素數，并描繪出像素數-灰度值圖形，則該圖形稱為該圖像的灰度直方圖，簡稱直方圖。從圖形上來說，灰度直方圖是一個二維圖，橫坐標為圖像中各個像素點的灰度級別，縱坐標表示具有各個灰度級別的像素在圖像中出現的次數或概率。直方圖如圖2.11所示。若令全圖中灰度值為q_i以上的像素數為A(q_i)，灰度值為q_i+?q_i以上的像素數為A(q_i+?q_i)，則全圖中具有灰度值q_i的像素數H（q）_i可表示為：

　　（2.8）

對離散圖像，則：

H(q)=A(q)?A(q+1)　　（2.9）

若圖像灰度級別為n，則可用H(0)～H(n?1)來表示直方圖。

2.4.1　直方圖的性質

灰度直方圖只能反映圖像的灰度分布情況，而不能反映圖像像素的位置，即丟失了像素的位置信息。因此，一幅圖像對應唯一的灰度直方圖，但反之不成立。不同的圖像可能對應相同的直方圖。如圖2.12所示為兩幅圖像具有相同直方圖的例子。

由于直方圖是對具有相同灰度值的像素統計計數得到的，因此，一幅圖像各子區的直方圖之和就等于該圖全圖的直方圖，如圖2.13所示。

2.4.2　直方圖的應用

（1）用于判斷圖像量化是否恰當

在對圖像進行數字化時，圖像數字化后其可用灰度級數與實際占用的灰度級數之間的關系可能會出現三種情況，如圖2.14所示。圖2.14（a）是恰當分布的情況，即圖像直方圖覆蓋了[0, 255]全部灰度級。圖2.14（b）是圖像對比度低的情況，圖中p、q部分的灰度級未能有效利用，灰度級數少于256，對比度減小。圖2.14（c）圖像p、q處具有超出數字化所能處理的范圍的亮度，則這些灰度級將被簡單地置為0或255，將會導致部分圖像灰度丟失，降低圖像質量。丟失的信息將不能恢復，除非重新數字化。可見數字化時利用直方圖進行檢查是一個有效的方法。直方圖的快速檢查可以使數字化中產生的問題及早暴露出來，以免浪費大量時間。

（2）用于確定圖像二值化的閾值

選擇灰度閾值對圖像二值化是圖像處理中討論得較多的一個課題。假定一幅圖像f(x,y)如圖2.15所示，背景是黑色，物體為灰色。在這種情況下，可以容易得知直方圖上的左峰由背景中的黑色像素產生，而右峰由物體中各灰度級產生。選擇谷對應的灰度作為閾值T，利用下式對圖像二值化，得到一幅二值圖像g(x,y)。

　　（2.10）

但是一般情況下，圖像二值化時雙峰之間不明顯時，二值化的選取就比較困難了。當物體部分的灰度值比其他部分灰度值大時，可利用直方圖統計圖像中物體的面積：

　　（2.11）

式中，n為圖像像素總數；v_i是圖像灰度級為i的像素出現的頻率。計算圖像信息量H（熵）時，假設一幅數字圖像的灰度范圍為［0,L-1]，各灰度級像素出現的概率為P₀,P₁,P₂,…,P_L?1。根據信息論可知，各灰度級像素具有的信息量分別為：?log₂P₀,?log₂P₁,?log₂P₂,…,?log₂P_L?1，則該幅圖像的平均信息量（熵）為：

　　（2.12）

熵反映了圖像信息豐富的程度，它在圖像編碼處理中有重要意義。