揭秘：你的答案正確嗎

1.☆松鼠的后背

這道題我們已經在前面分析過，這里就不重復了。

2.☆公共爐灶里的木柴

如果你認為吳材支付的8戈比是8塊木柴的價錢，或者說1戈比買1塊木柴，那你就錯啦！3個人共用了這8塊木柴燒熱的爐灶，每個人用的爐火量一樣多，吳材付出的8戈比是他個人所用爐火的價錢。因此8塊木柴的總價應該是8×3=24戈比，1塊木柴的價格就是24÷8=3戈比。

那么小三兒和小五兒如何分配8個戈比呢？小三兒的3塊木柴價值3×3=9戈比，但她不能拿這么多，因為她自己也用了一份價值8戈比的爐火，所以小三兒應該拿到的錢數是9-8=1戈比。小五兒的5塊木柴價值3×5=15戈比，扣除她個人用掉的8戈比爐火錢，她可以拿到15-8=7戈比。

正確的分配是：小三兒分得1戈比，小五兒分得7戈比。

3.☆沒有活動的夜晚

根據題意可知：鉗工小隊每2天活動一次，木工小隊每3天活動一次，攝影小隊每4天活動一次，國際象棋小隊每5天活動一次，合唱小隊每6天活動一次。2、3、4、5、6的最小公倍數是60，也就是說，第61天是5個小隊下一次在學校集中活動的日子。在這之前的任何一天都不可能，這之后的再下一次又是60天之后，那已經是第二個季度了。所以第一季度只能有一個5小隊同時集中在學?；顒拥耐砩?。

法官大人補加的問題——第一季度有幾個夜晚沒有任何小隊進行活動，回答起來就要麻煩些。你可以拿出一張紙，按順序寫上從1到90的所有數字，代表第一季度的90天。然后劃掉每2天活動1次的鉗工小隊的活動日；再劃掉每3天活動1次的木工小隊的活動日；然后是每4天活動1次的攝影小隊、每5天活動一次的國際象棋小隊、每6天活動一次的合唱小隊的活動日。最后看看這90個數字，你會發現，沒有被劃掉的日子一共是24天——1月份8天，2月份7天，3月份9天。

4.☆數行人

甲和乙數出來的行人數一樣多。站在門口的甲可以數出從兩個方向經過他身邊的人數，在人行道上來回走動的乙數出的人數是迎面走來的人數的2倍。這兩個數一樣多。換一種思考方法：每個從不同方向經過甲身邊的行人在經過人行道時都遇見了乙，因此每次乙走到甲面前時，他們數到的人數都一樣多。這種情況一直持續了一個小時才結束，當他們最后一次碰面時，兩人說出的人數仍然是相同的。

5.☆爺孫倆

這道題給人的第一感覺似乎是爺孫倆同齡，這當然不可能。孫子出生于20世紀，他的出生年份前兩位是19，后面的兩位數與他在1932年時的年齡相等，并且兩數之和是32，可見孫子出生于1916年，在1932年時他恰好16歲。爺爺出生于19世紀，他的出生年份前兩位應該是18。在1932年時，他的年齡與他的出生年份后兩位數相等，并且和為132。因此爺爺出生于1866年，132÷2=66，在1932年時他恰好66歲。你看，爺孫倆在1932年時的年齡的確分別與他們出生年份的后面兩位數是相等的。

6.☆火車票

這條鐵路沿線上共有25個站點，每一站上車的每一位乘客都可能去其他24個站點中的任何一站，必須準備25×24=600種不同的車票才可以滿足他們的需求。但售票口同樣出售返程車票，因此要為可能去往相反方向的乘客準備同樣的票數。那么鐵路部門要提前為這條路線上的所有售票口準備好的車票就是600×2=1?200種。

7.☆直升機落在哪？

這道題并不矛盾。我們不能把直升機的飛行路線想象成正方形，因為要同時考慮到地球是一個球體，越往北，經線間的距離就越小。所以當直升機從列寧格勒機場起飛，向正北沿所處經線飛行500千米，然后向東、向南各飛了同樣的距離，重新回到列寧格勒機場所處緯度，向西做500千米的返回飛行時，由于角度的偏差，它已經無法回到原點，其落點是列寧格勒偏東的位置（如圖3所示）。那么直升機的落點究竟向列寧格勒以東偏離了多遠的距離？我們可以計算一下。

我們來看一下圖3。圖中的點N是北極，所有的經線在北極點相交，這是一個常識。接下來，ABCDE是直升機的飛行路線。AB與CD是兩條經線，它們相交于N。直升機從A點起飛，沿經線AB向北飛行500千米，經線的度值是111千米，500千米包含的度數是500:111≈4.5°。列寧格勒所處的緯線是60°，點B所處的緯線就是60°+4.5°=64.5°。在點B飛機轉頭，沿著64.5°緯線向東飛了500千米到點C，從相關的數值表里我們可以知道這個緯度上的度值大約是48千米，所以飛機向東飛的度數應該是500:48=10.4°，也就是飛到了距離列寧格勒所在經線偏東10.4°的另一條經線上。在點C飛機再次轉頭，沿著這條經線向南飛了500千米到點D，重新回到了列寧格勒所在的60°緯線上。在D點，飛機最后一次轉向，沿著60°緯線向點A所在的西方飛了500千米，落在點E。緯線AD與緯線BC所包含的度數是同樣的10.4°，但60°緯線上每1°就有55.5千米長，由此可以計算出，AD間的距離是55.5×10.4≈577千米，這個數大于500千米，顯然ED間的長度小于AD。

現在你可以知道，飛機不可能回到列寧格勒機場，它降落時距離列寧格勒機場還有77千米，這個位置在拉多加湖上空，它降落在了水面上！

8.☆影子的寬度

大家的討論有些偏離正軌。首先，射到地球上的太陽光并非明顯分散。地球與太陽之間的距離非常大，與此相比，地球渺小至極。在這種情況下，照射到地球表面某一部分的太陽光分散的角度幾乎無法察覺，因此完全可以被看作是平行光線。而當太陽躲在云彩后面，我們看到的扇形散開的太陽光呈現出透視的效果，也并未變大。

在透視圖中看平行線，會讓你聯想到無限伸向遠方的鐵軌，或者長長的望不到盡頭的小路，都是呈收斂狀的。

太陽光以平等光線射到地球上，并不能作為判斷直升機的完整影子的寬度與機體自身的寬度相等的理由。請注意觀察圖4，你會發現完整的飛機影子在朝向地球的方向越來越窄，所以它投到地球表面的影子也比飛機自身的寬度窄，也就是說圖中的CD

那么CD比AB窄多少？我們假設飛機的飛行高度是100米。直線AC和BD之間的夾角與在地球上看太陽時的視角相等，像你所知道的那樣，這個角度大約是0.5°。同時我們也很清楚，以0.5°的視角所看的任何物體與我們的眼睛之間的距離，都是該物體直徑的115倍。那么圖4中，人在地球表面以0.5°視角看到的線段MN，就等于AC的。點與直線之間垂線段最短，因此點A到地面的垂直距離肯定短于AC的長度。假設陽光與地面夾角是45°，那么當飛機飛行高度為100米時，AC間的距離約為140米，MN的長度就是米。圖中的線段MB是飛機的自身寬度比影子寬度多出的部分，∠MBD基本上等于45°，因此線段MB的長度是MN的1.4倍，即MB=1.2×1.4=1.68米。也就是說，CD比AB窄了近1.7米。

但請注意，我們所指的完整的飛機影子，是指黑色的、完全清晰的影子，不包括所謂的半影或不清晰的、模糊的影子。

上面的計算結果還向我們證明了另一個結論，那就是如果把位于該位置上的直升機換成一個直徑小于1.7米的探測氣球，我們只可能看到它模糊的半影，因為地面上不可能出現它的完整的投影。

9.☆三堆火柴

這道題我們可以用最后的結果向前面推算。完成全部移動的操作之后，我們眼前的三堆火柴的數量是完全相等的，我們知道總數是48根，那么每堆火柴就是16根。即：第一堆16根、第二堆16根、第三堆16根。

現在向前考慮最后一次的移動。即“從第三堆火柴里取出和第一堆數量相等的火柴放入第一堆”，由此可以知道，在移動這一步之前，第一堆的火柴數應該是移動后的，也就是根，第三根火柴數應該用移動后的數字加上8，也就是16+8=24根。三堆火柴的數量變成了：第一堆8根、第二堆16根、第三堆24根。

“從第二堆火柴里拿出和第三堆數量相等的火柴放入第三堆”，那么在移動這一步之前，第三堆火柴應該是移動后的，也就是根，而第二堆里要加上這個數字。三堆火柴的數量變成了：第一堆8根、第二堆16+12=28根、第三堆12根。

第一步的計算方法就簡單了，你可以自己試試。

最初的分出的三堆火柴的數量已經出現：

第一堆22根，第二堆14根，第三堆12根。

10.☆神奇的樹樁

這道題也可以用最后的結果向前面推算。錢包里的錢一共翻倍了三次，第三次翻倍后的錢數是1盧布20戈比，這些錢全部給了那位老者。

那么在第三次翻倍前錢包里有多少錢呢？肯定是1盧布20戈比的一半，也就是60戈比，這是第二次向老者支付了1盧布20戈比后剩下的，在支付之前，總錢數是60戈比+1盧布20戈比=1盧布80戈比。這也是第二次翻倍后錢包里的錢數。

第二次翻倍前呢？錢包里有90戈比，這是第一次向老者支付1盧比20戈比剩下的，在支付之前，總錢數是90戈比+1盧布20戈比=2盧布10戈比。這也是第一次翻倍后錢包里的錢數。

第一次翻倍之前，也就是農民在參加這令人哭笑不得的神奇樹樁游戲之前錢包里原有的錢數，是2盧布10戈比的一半，也就是1盧布5戈比。

這個答案是否正確呢？讓我們再從前向后驗證一下。

11.☆關于12月的題目

我國（蘇聯）歷法來自于古羅馬歷法。在尤里·采扎里之前，羅馬人認為一年的開始是3月1日，所以我們現在的12月，只是當時古羅馬歷的第10個月。后來年初變成了1月1日，每個月份的名稱卻原封不動地使用了下來，這就是為什么“12月”的本意是“第10個月”。除此而外，下面這幾個月份也有同樣的特點：

12.☆變魔術

我們選定了一個三位數，并把它寫了兩遍，成為一個六位數。這相當于把選定的三位數乘以1?000，然后再加上這個三位數。比如：

872 872=872 000+872.

說得簡單些，就是我們把選定的三位數與1?001相乘了。

然后我們是如何對待這個六位數的呢？讓它分別被7、11和13整除。事實上7×11×13=1?001，也就是說，我們做的這一切，只是為了讓它被1?001整除。

因此真相是：我們用選定的三位數乘以1?001，再用乘積除以1?001。

經過這樣的計算，最后的得數恰好是我們選定的三位數，這有什么值得驚奇的呢？

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在這一章結束之前，我還有三個數學魔術要講給你們，兩個是猜數魔術，一個是猜主人。相信它們一定會是你和朋友打發空閑時間的好幫手。這些魔術并不是新出現的，因此你們可能很早就聽說過，但好在并非所有人都明白其中的緣由。沒有足夠的魔術理論知識，是無法有意識、有把握地完成它們的。

下面就開始吧。