2.2 光滑環(huán)形密封間隙激勵(lì)力及其等效動(dòng)力學(xué)特性

2.2.1 小長徑比環(huán)形密封間隙激勵(lì)力及其等效動(dòng)力學(xué)特性

目前，長徑比小于0.75的光滑型環(huán)形密封被廣泛應(yīng)用于葉輪前口環(huán)、后口環(huán)及級(jí)間密封中。此類間隙內(nèi)流體激勵(lì)力及其等效動(dòng)力學(xué)特性基于間隙環(huán)流線性小擾動(dòng)模型及Childs發(fā)展的有限長求解理論進(jìn)行求解，即假設(shè)該位置動(dòng)環(huán)除自轉(zhuǎn)外，其中心還圍繞軸心連線存在一較小渦動(dòng)。選取間隙內(nèi)液體環(huán)為控制體，根據(jù)Bulk-flow模型建立包括軸向動(dòng)量方程[式（2-2）]、周向動(dòng)量方程[式（2-3）]及連續(xù)性方程[式（2-4）]的無量綱微元控制方程組^[74]。

對(duì)該方程組的求解采用攝動(dòng)法，選取一個(gè)無量綱偏心小量ε，將軸向速度、周向速度、壓力分布及環(huán)形間隙徑向厚度用偏心小量ε表示，將各參數(shù)的擾動(dòng)表達(dá)式代入原控制方程組，分別得到其一階及零階擾動(dòng)形式。根據(jù)環(huán)向連續(xù)性方程邊界條件，將原圓柱坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)方程用復(fù)數(shù)變量進(jìn)行描述，并分別對(duì)軸向、周向方程及連續(xù)性方程零階與一階方程進(jìn)行求差運(yùn)算，可得：

軸向動(dòng)量方程

周向動(dòng)量方程

連續(xù)性方程

在小擾動(dòng)模型下，對(duì)周向及徑向位移、速度以周期性渦動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行描述，以上控制方程組可整合為一階微分方程組：

其中，，，。λ、m₀、n₀為Blasius-Hirs摩擦模型中的相關(guān)摩擦因數(shù)、摩擦因子，具體取值參考文獻(xiàn)[74]。

考慮環(huán)形間隙進(jìn)口處由于存在壓力損失，其壓力關(guān)系可定義為

考慮環(huán)形間隙出口處存在壓力的恢復(fù)效應(yīng)，其壓力關(guān)系可定義為

對(duì)其進(jìn)行無量綱化處理，，u_z=U_Z/U_Z0可得

因此，u_z0由式（2-13）結(jié)合全流場數(shù)值計(jì)算結(jié)果中環(huán)形間隙進(jìn)口、出口壓力邊界條件[見式（2-11）及式（2-14）]迭代求解；v由式（2-14）結(jié)合全流場數(shù)值結(jié)果中計(jì)算環(huán)形間隙進(jìn)口、出口周向速度邊界條件[式（2-15）]迭代求解；

采用打靶法對(duì)以上控制方程進(jìn)行求解，介于收斂條件中進(jìn)口與出口位置壓力分布均與軸向速度有關(guān)，故在求解中假設(shè)軸向速度為基礎(chǔ)變量，將進(jìn)口與出口位置壓力值用基礎(chǔ)變量表示，并采用壓力出口大小為收斂邊界條件，設(shè)定收斂準(zhǔn)則為相鄰兩時(shí)間步內(nèi)三組未知數(shù)求解殘差小于10^-8。介于收斂進(jìn)口與出口位置壓力分布均與軸向速度有關(guān)，故取u_z10=γ_k，u_θ10=u_θ（Q，n），p₁₀=k·γ_k，。

設(shè)，則

原方程組各式，對(duì)γ_k求偏導(dǎo)數(shù)，可得：

根據(jù)文獻(xiàn)[74]，將壓力分布及軸向速度一階攝動(dòng)量代入，將上式代入式（2-11）與式（2-12）中，可得環(huán)形間隙進(jìn)口、出口無量綱壓力邊界條件：

忽略環(huán)形間隙進(jìn)口處周向速度擾動(dòng)，即u_θ1（0）=0。

換算后控制方程式（2-16）的邊界條件可化為：M₁（0）=1，M₂（0）=0，M₃（0）=k。

設(shè)定p₁（L）+（1-ξ_out）u_z1（1）u_z0（1）=F，采用牛頓法對(duì)γ_k的初值進(jìn)行修正以加速收斂，修正方法：。由此，原方程組的求解可化為對(duì)初值γ_k的不斷改進(jìn)過程，并驗(yàn)證原邊界條件是否滿足迭代求解過程。最終迭代結(jié)束，將得到環(huán)形間隙內(nèi)流體壓力沿Z軸所在位置的分布情況p₁（z）=（f_re（z）+jf_im（z））。根據(jù)液體環(huán)內(nèi)壓力分布情況，對(duì)反作用力進(jìn)行徑向與周向的分解分析，并進(jìn)行無量綱化處理，如下：

因此，在任意渦動(dòng)頻率下，均可通過所求得的軸向與周向無量綱壓力分布函數(shù)f_re（z）、f_im（z）沿Z軸的積分求得。在求解過程中，六個(gè)動(dòng)力特性系數(shù)組成唯一的一組由兩個(gè)方程組成的六元一次方程組。對(duì)于某一固定工作轉(zhuǎn)速N，可取渦動(dòng)頻率為0、0.5、1.0、1.5、2.0倍的工作轉(zhuǎn)速，組成5組六元一次方程組，每三組方程可求解出一組動(dòng)特性系數(shù)，5組方程排列組合共求解10組動(dòng)特性系數(shù)，求其平均值并輸出其計(jì)算結(jié)果，其求解流程如圖2-3所示。該求解方法可實(shí)現(xiàn)葉輪口環(huán)、級(jí)間密封等長徑比小于0.75的環(huán)形間隙在不同幾何尺寸、操作工況下的非定常流體激勵(lì)力及其動(dòng)力學(xué)特性系數(shù)（主剛度系數(shù)、附加剛度系數(shù)、主阻尼系數(shù)、附加阻尼系數(shù)及主附加質(zhì)量系數(shù)）的求解，進(jìn)而完成考慮非定常流體間隙流體激勵(lì)力的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性與動(dòng)力學(xué)行為計(jì)算。