2.2 光滑環形密封間隙激勵力及其等效動力學特性

2.2.1 小長徑比環形密封間隙激勵力及其等效動力學特性

目前，長徑比小于0.75的光滑型環形密封被廣泛應用于葉輪前口環、后口環及級間密封中。此類間隙內流體激勵力及其等效動力學特性基于間隙環流線性小擾動模型及Childs發展的有限長求解理論進行求解，即假設該位置動環除自轉外，其中心還圍繞軸心連線存在一較小渦動。選取間隙內液體環為控制體，根據Bulk-flow模型建立包括軸向動量方程[式（2-2）]、周向動量方程[式（2-3）]及連續性方程[式（2-4）]的無量綱微元控制方程組^[74]。

對該方程組的求解采用攝動法，選取一個無量綱偏心小量ε，將軸向速度、周向速度、壓力分布及環形間隙徑向厚度用偏心小量ε表示，將各參數的擾動表達式代入原控制方程組，分別得到其一階及零階擾動形式。根據環向連續性方程邊界條件，將原圓柱坐標系下的運動方程用復數變量進行描述，并分別對軸向、周向方程及連續性方程零階與一階方程進行求差運算，可得：

軸向動量方程

周向動量方程

連續性方程

在小擾動模型下，對周向及徑向位移、速度以周期性渦動運動方程進行描述，以上控制方程組可整合為一階微分方程組：

其中，，，。λ、m₀、n₀為Blasius-Hirs摩擦模型中的相關摩擦因數、摩擦因子，具體取值參考文獻[74]。

考慮環形間隙進口處由于存在壓力損失，其壓力關系可定義為

考慮環形間隙出口處存在壓力的恢復效應，其壓力關系可定義為

對其進行無量綱化處理，，u_z=U_Z/U_Z0可得

因此，u_z0由式（2-13）結合全流場數值計算結果中環形間隙進口、出口壓力邊界條件[見式（2-11）及式（2-14）]迭代求解；v由式（2-14）結合全流場數值結果中計算環形間隙進口、出口周向速度邊界條件[式（2-15）]迭代求解；

采用打靶法對以上控制方程進行求解，介于收斂條件中進口與出口位置壓力分布均與軸向速度有關，故在求解中假設軸向速度為基礎變量，將進口與出口位置壓力值用基礎變量表示，并采用壓力出口大小為收斂邊界條件，設定收斂準則為相鄰兩時間步內三組未知數求解殘差小于10^-8。介于收斂進口與出口位置壓力分布均與軸向速度有關，故取u_z10=γ_k，u_θ10=u_θ（Q，n），p₁₀=k·γ_k，。

設，則

原方程組各式，對γ_k求偏導數，可得：

根據文獻[74]，將壓力分布及軸向速度一階攝動量代入，將上式代入式（2-11）與式（2-12）中，可得環形間隙進口、出口無量綱壓力邊界條件：

忽略環形間隙進口處周向速度擾動，即u_θ1（0）=0。

換算后控制方程式（2-16）的邊界條件可化為：M₁（0）=1，M₂（0）=0，M₃（0）=k。

設定p₁（L）+（1-ξ_out）u_z1（1）u_z0（1）=F，采用牛頓法對γ_k的初值進行修正以加速收斂，修正方法：。由此，原方程組的求解可化為對初值γ_k的不斷改進過程，并驗證原邊界條件是否滿足迭代求解過程。最終迭代結束，將得到環形間隙內流體壓力沿Z軸所在位置的分布情況p₁（z）=（f_re（z）+jf_im（z））。根據液體環內壓力分布情況，對反作用力進行徑向與周向的分解分析，并進行無量綱化處理，如下：

因此，在任意渦動頻率下，均可通過所求得的軸向與周向無量綱壓力分布函數f_re（z）、f_im（z）沿Z軸的積分求得。在求解過程中，六個動力特性系數組成唯一的一組由兩個方程組成的六元一次方程組。對于某一固定工作轉速N，可取渦動頻率為0、0.5、1.0、1.5、2.0倍的工作轉速，組成5組六元一次方程組，每三組方程可求解出一組動特性系數，5組方程排列組合共求解10組動特性系數，求其平均值并輸出其計算結果，其求解流程如圖2-3所示。該求解方法可實現葉輪口環、級間密封等長徑比小于0.75的環形間隙在不同幾何尺寸、操作工況下的非定常流體激勵力及其動力學特性系數（主剛度系數、附加剛度系數、主阻尼系數、附加阻尼系數及主附加質量系數）的求解，進而完成考慮非定常流體間隙流體激勵力的轉子系統動力學特性與動力學行為計算。