計數原則的習得

格爾曼教授繼續與她同在羅格斯大學的丈夫蘭迪·蓋利斯特爾（Randy Gallistel）教授合作，分析兒童通過數量守恒實驗所必需的能力。他們提出了一些關鍵性的問題：兒童對數字了解多少？他們何時開始了解數字？經過大量研究，他們得出了計數的五個原則。這些原則是兒童通過玩一些物體和與人談論數字自己摸索出來的。在沒有大人在旁指導的情況下，孩子僅僅通過玩弄手邊的物體就學會了這些知識。換言之，孩子通過我們稱為玩耍的神奇活動學習這些原則。

一一對應原則：一件物品對應一個數字“標簽”

讓我們一起想想，計算一組物體的數量時會涉及什么？如果我們數了某樣東西不止一次，很可能會得到錯誤的答案。幼兒何時理解這個道理呢？這就是一一對應原則。格爾曼教授發現，2歲半的孩子會給一個物品貼上一個數字“標簽”，即使他們那時還不能正確地計數。如果給他們看一組4件物品，要求他們計數，他們可能會說“1、2、4、6”，他們給每件物品分配一個數字（即使是錯誤的數字）。這真是令人印象深刻，他們竟然已經明白，每件物品只能數一次。

固定順序原則：數字有自己的固定位置

不論孩子的數字表正確與否，他們似乎理解，自己熟悉的數字是以固定順序出現的。換言之，在數一組事物時，你不能這次說“1、2、3”，下次又說“2、1、3”。如果你讓一個2歲的孩子數一組事物，你會驚訝于他的表現。他當然知道要使用數字計數——也就是說，他不會這樣回答你：“藍色、紅色、綠色……”然而，他或許不會以你期望的順序說出這些數字。他可能會說：“1、2、3、4、7。”如果你讓他數兩組不同的事物，他可能會以相同的順序來數（即用他自己的數字表）。這是一件很神奇的事，因為沒有人耳提面命地教授孩子這個原則，他們觀察別人計數，然后在自己計數的實踐中學會這一原則。

發現孩子的能力

一一對應原則和固定順序原則

適合年齡：2～4歲

你的孩子開始使用一一對應原則和固定順序原則了嗎？收集一些物品，排成三組，每組放三四個物品。讓你的孩子對其中一組事物進行計數，觀察他是否給每個物品都分配了一個不重復的數字編號，據此可以判斷他是否用到了一一對應原則。如果他沒有使用該原則，那么請幾個月后再次嘗試上述做法。在不同年齡的孩子身上做以上嘗試也十分有趣，你可以看看孩子在一兩年的時間里會出現多大的變化。同時，孩子數物品的時候，聽聽他是否每次都用自己的數字表（很可能是獨一無二的），按照相同的順序去計數，據此可以判斷他是否用到了固定順序原則。

基數原則：一組事物的個數等于最后一個數字的編號

一旦孩子掌握了固定順序原則，他們就準備好接受重要的基數原則——計數的最后一個數字代表了一組物品的總數。這意味著什么？比如我數了3個杯子，那么我數的最后一個數字3就代表了杯子的數量。從這個角度觀察孩子是件樂趣無窮的事，因為他們數到最后，常常抬起頭，鄭重其事地把嗓門抬高，并且一臉驕傲地說：“6！”也許他們使用了自己獨一無二的數字表，但這無關緊要。當他們告訴你，自己數到的最后一個數字等于那組物品的總數時，你便知道他們明白了這個原則。

抽象原則：我可以數出各種東西

《芝麻街》中“伯爵”這個角色向我們解釋了下一個原則，即抽象原則。任何事物都能被計數——我們可以數鞋子有幾雙、從窗前飛馳而過的汽車有幾輛，甚至是午飯后接到的推銷電話有幾次。數字是世界通用的，適用于任何地方、任何事物。幸運的是，盡管不同語言中數字的表達方式不同，計數的原則卻是世界通用的。

順序無關原則：從哪里開始計數并不重要

皮亞杰講過一個故事，說他的一位數學家朋友對自己小時候的一個頓悟時刻記憶猶新。他當時在玩一些石頭，把它們排成了一個圈。他從其中一塊石頭開始計數，最后得到的結果是“6”。然后，他挑選了另一塊石頭作為數字“1”，同樣得到了“6”這個答案。神奇！不論從哪塊石頭開始計數，結果都不會改變，他總能得到相同的答案。皮亞杰的朋友完全靠自己發現了順序無關原則，而其他孩子也是如此。該原則告訴我們，我們不僅能夠計數想要計數的東西，還能以任意順序、從任意起點開始計數。

發現孩子的能力

基數原則、抽象原則和順序無關原則

適合年齡：2～4歲

給孩子幾組物品，你就能分辨他是否使用了這些計數原則。例如，若要檢驗孩子是否使用了基數原則，你可以問問他“有多少只小狗、小鳥、玩具……”，看看他是否知道，答案是他數到的最后一個數字。看看他是否會對任何事物都進行計數，表現出他理解抽象原則。讓孩子數一組有形的物體，然后數一數天空上云朵的數量或是你上周打電話給外婆的次數。他會拒絕嗎？還是愿意聽你的話，去數你所要求的一切事物，即使那些事物遠在天邊，遙不可及？

最后，觀察孩子是否懂得運用順序無關原則。以5個物體為一組，指向其中一個物體，要求孩子以其為起點數一數物體的個數。然后指向另一個物體，并讓孩子將其作為新起點再數一遍。孩子兩次得出的答案一致嗎？他愿意照你的指示做嗎？你可以詢問孩子為什么結果總是一樣的。不要期望他能說出有意義的道理，聽聽他們給出的理由，這本身就妙趣橫生。

到了3歲，絕大多數孩子似乎都能運用這5個原則。這些原則在正常的發展歷程中會自然顯現出來，目前也被早教數學課程和評估所應用。我們是否應當跑出家門購買教學材料，來教我們的孩子這些計數原則？大可不必。首先，即使我們想要教一個2歲的孩童計數原則（我們不明白為什么會有人想要這么做），我們也做不到。你該如何向一個2歲的孩子解釋，對一組事物計數的順序與結果無關？孩子會在適當的時候自己理解這個原則。這些原則過于抽象，孩子是無法通過聽大人的講解就理解的。這就是為什么他們需要親身體驗周圍的事物，從而自己去發現、領悟。

你可以利用玩具汽車、茶杯以及家里的其他日常用品來和孩子玩“數學”游戲，無須購買什么特別的東西。抽象原則告訴我們，無論孩子看向哪里，他們都能找到那些隱蔽的數字。如果我們和他們一起觀察，便能從數小蟲、蛞蝓和炸薯條中找到樂趣（但愿炸薯條沒有和前兩者放在同一組）。至于學習加減法，除了數字之外還牽涉別的因素。這就引出了學習抽象等式的下一步——數軸（number line）。