第2章　數學基礎和軟件基礎

2.1　空間坐標系變換

本節給出描述空間直角坐標系變換的齊次變換矩陣。空間直角坐標系變換包含旋轉和平移兩部分，描述旋轉可以用一個3×3的旋轉矩陣，描述平移可用一個3×1的平移向量，使用旋轉矩陣和平移向量可以定義4×4的齊次變換矩陣。

先介紹旋轉，空間坐標系關系如圖2-1所示，直角坐標系{B}的3個單位主矢量xB,yB,zB相對于直角坐標系{A}的方向余弦組成3×3矩陣

該矩陣描述了坐標系{B}相對于{A}的方位，我們稱其為坐標系{B}相對于{A}的旋轉矩陣。旋轉矩陣有9個元素，但3個列矢量AxB,AyB,AzB均為單位主矢量且兩兩垂直，所以有6個正交約束條件

故只含有3個獨立元素。為正交矩陣，并且。繞X、Y、Z軸旋轉δ的旋轉矩陣分別為

對于平移，我們用一個平移向量p=AOB來描述，AOB是坐標系{B}的原點在坐標系{A}中的坐標，是3×1的向量。

設空間中一點P，它在坐標系{A}中的坐標為AP，在坐標系{B}中的坐標為BP，一般地

我們還可以用齊次坐標進一步簡寫上式，一個3×1坐標向量[x,y,z]T的齊次形式是4×1向量[x,y,z,1]T，不加區分地仍用AP、BP表示齊次坐標，則有

其中，為4×4齊次變換矩陣

這里，向量的左上角與矩陣的左下角均為B，可以看作相互抵消，只剩左上角標A。