第2章　數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和軟件基礎(chǔ)

2.1　空間坐標(biāo)系變換

本節(jié)給出描述空間直角坐標(biāo)系變換的齊次變換矩陣。空間直角坐標(biāo)系變換包含旋轉(zhuǎn)和平移兩部分，描述旋轉(zhuǎn)可以用一個(gè)3×3的旋轉(zhuǎn)矩陣，描述平移可用一個(gè)3×1的平移向量，使用旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量可以定義4×4的齊次變換矩陣。

先介紹旋轉(zhuǎn)，空間坐標(biāo)系關(guān)系如圖2-1所示，直角坐標(biāo)系{B}的3個(gè)單位主矢量xB,yB,zB相對(duì)于直角坐標(biāo)系{A}的方向余弦組成3×3矩陣

該矩陣描述了坐標(biāo)系{B}相對(duì)于{A}的方位，我們稱其為坐標(biāo)系{B}相對(duì)于{A}的旋轉(zhuǎn)矩陣。旋轉(zhuǎn)矩陣有9個(gè)元素，但3個(gè)列矢量AxB,AyB,AzB均為單位主矢量且兩兩垂直，所以有6個(gè)正交約束條件

故只含有3個(gè)獨(dú)立元素。為正交矩陣，并且。繞X、Y、Z軸旋轉(zhuǎn)δ的旋轉(zhuǎn)矩陣分別為

對(duì)于平移，我們用一個(gè)平移向量p=AOB來描述，AOB是坐標(biāo)系{B}的原點(diǎn)在坐標(biāo)系{A}中的坐標(biāo)，是3×1的向量。

設(shè)空間中一點(diǎn)P，它在坐標(biāo)系{A}中的坐標(biāo)為AP，在坐標(biāo)系{B}中的坐標(biāo)為BP，一般地

我們還可以用齊次坐標(biāo)進(jìn)一步簡寫上式，一個(gè)3×1坐標(biāo)向量[x,y,z]T的齊次形式是4×1向量[x,y,z,1]T，不加區(qū)分地仍用AP、BP表示齊次坐標(biāo)，則有

其中，為4×4齊次變換矩陣

這里，向量的左上角與矩陣的左下角均為B，可以看作相互抵消，只剩左上角標(biāo)A。