第二節 微分和求導
微分和求導在經濟學中的運用非常廣泛。在本教材中，用得最多的是一元函數與二元函數的求導和微分，而且經濟學中求導一般不超過二階，因此這里重點講解一元函數和二元函數的一階導數與二階導數。
一、一元函數的導數和微分
假設一元函數y=f（x）在x0點的附近（x0-ε,x0+ε）內有定義，當自變量的增量Δx=x-x0→0時，函數值的增量Δy=f（x）-f（x0）與自變量增量比值
的極限存在且有限，就說函數f在x0點可導，并稱之為f在x0點的一階導數（或變化率）。若函數f在定義域內的每一點都可導，便得到一個在定義域上的新函數，記作f′（x）,f′,y′或dy/dx，稱為f的導函數，簡稱導數。函數y=f（x）在x0點的導數f′（x0）的幾何意義為曲線在點[x0,f（x0）]的切線的斜率。
y=f（x）的微分表示為dy, dy=f′（x）dx。
下面給出經濟學中常見函數的導數：
特別地
以下是函數的和、差、積、商的求導法則：
復合函數的求導法則：
反函數的求導法則：
如果y=f（x）的反函數為x=f-1（y），記為x=h（y），則有：
一元函數y=f（x）的一階導數是求導的基礎，必須熟練掌握。接下來，我們討論一元函數的二階導數。一元函數的一階導數實際上也是自變量x的函數，于是對一階導數再次求導，就可以得到一元函數的二階導數，我們記為y″,f″（x）, d2y/dx2。
同樣，我們可以得到二階全微分d2y=f″（x）dx2。
直觀來看，二階導數就是變化率的變化率，在曲線上就是斜率的變化率。實際上二階導數的大小可以用來表征函數或圖形的凹凸性。關于函數的凹凸性，后面的章節有專門的介紹。
二、二元函數的導數和微分
（一）一階偏導數和一階全微分
設有二元函數y=f（x1, x2），因此y的變化由x1, x2的變化所引起，這時對二元函數求導就有兩個導數，我們稱為一階偏導數。具體而言，y對x1的一階偏導數是指當x2保持不變時，y的變化量Δy與x1的變化量Δx1的比值的極限，記為?y/?x1,?f/?x1, 
或f1。同理，我們也可以得到y對x2的一階偏導數，記為?y/?x2, ?f/?x2, 
或f2。
計算一階偏導數的方法很簡單，只要把其他變量看作常數，剩下的就相當于對相應的自變量求一階導數。
例1：求函數z=x/y+yln x的偏導數。
解：求z對x的偏導數時，把y看作常數，有
同理有
一階偏導數在經濟學中有很強的經濟解釋。經濟學中邊際的概念就是用一階偏導數來表示的。經濟學中邊際的概念是指在保持其他條件不變的情況下，自變量的變化對因變量變化的影響，這正好對應著數學中一階偏導的定義。例如，經濟學中的邊際效用無非就是效用函數的一階偏導，資本的邊際收益就是總收益函數對資本量的一階偏導。
偏導數是指其他變量不變時，某個自變量變化對因變量變化的影響。但因變量變化往往是由多個自變量變化所引起的，為了說明這種情況，就有了全微分的概念。二元函數y=f（x1, x2）的全微分為
例2：求例1中函數的全微分。
解：根據例1的結果有
有了二元函數的偏導數和全微分，我們就可以求解隱函數的導數。
設有隱函數F（x, y）=0，實際上這里隱含著y是x的函數，那么y對x的導數為
證明：因為F（x, y）=0
兩邊求全微分dF（x, y）=0，即
?F/?xdx+?F/?ydy=0
變形后得到上述結論。
（二）二階偏導數和二階全微分
二元函數y=f（x1,x2）的二階偏導數一共有四個，分別是y對x1的二階偏導數，記為
或f11;y對x2的二階偏導數，記為
或f22;y對x1和x2的二階混合偏導數，記為
, 
或f12;y對x2和x1的二階混合偏導數，記為
, 
或f21。
楊氏定理：若
和
連續，則兩者相等，即
二階（偏）導數在經濟學中都是表示變化率的變化率，在經濟學中就可以用二階（偏）導數來表示邊際的變化率，比如用來表示邊際效用遞減或者邊際成本遞增等。
我們也可以得到二階全微分，用d2y表示，代表y的一階全微分后的再次全微分
證明：dy=?y/?x1dx1+?y/?x2dx2=f1dx1+f2dx2
根據楊氏定理，最后得到
（三）齊次函數
若函數y=f（x1, x2）對于任意的t＞0，有f（tx1, tx2）=tkf（x1, x2），則稱函數y=f（x1, x2）為k次齊次函數。在經濟學中，常用的齊次函數為零次齊次函數和一次齊次函數。
齊次函數中有一個很重要的定理——歐拉公式在經濟學中非常有用，介紹如下：
歐拉公式：若y=f（x1, x2）是k次齊次函數，則有
f1·x1+f2·x2=k f（x1, x2）
證明：因為f（tx1,tx2）=tkf（x1,x2）
兩邊同時對t求導，得
令t=1，則上式變為
f1·x1+f2·x2=k f（x1, x2）
當k=1, f1·x1+f2·x2= f（x1, x2）；
當k=0, f1·x1+f2·x2=0。