第一節(jié) 集合和函數(shù)的基本概念

集合是指由所有對象組成的全體，集合中的每一個對象稱為元素。通常用X表示集合，用x表示集合中的元素。在經(jīng)濟學(xué)中用的最多的集合就是實數(shù)集R，有時候我們也會用到正實數(shù)集R+。在經(jīng)濟學(xué)中往往要用到n維的實數(shù)集Rn和n維正實數(shù)集。例如，本教材中經(jīng)常用到的由兩種商品組成的商品集X={x|x=（x1, x2）, x1≥0, x2≥0}就是一個二維實數(shù)集。

在經(jīng)濟分析中有一類集合顯得非常重要，這類集合為凸集。若集合X中的任意兩點xa和xb，對每一個t∈[0,1]，點xt=txa+（1-t）xb也屬于集合X，則稱X為凸集。

現(xiàn)在以一個二維集合為例來看看凸集。如果X={x|x=（x1, x2）}是凸集，那么意味著對于任意兩點，點, 。圖1-1是關(guān)于凸集的直觀圖示。

圖1-1 集合圖示

在圖1-1中，（1）和（2）都是凸集，而（3）不是凸集。從圖形上判別一個集合是不是凸集，就看這個集合中任意兩點的連線是否都在這個集合內(nèi)。如果在集合內(nèi)，那么這個集合就是凸集，否則就不是凸集。

函數(shù)是指數(shù)學(xué)中的一種對應(yīng)關(guān)系。具體來說，設(shè)X是一個非空集合，Y是一個非空數(shù)集，f是對應(yīng)法則，若對X中的每個x，按對應(yīng)法則f，使Y中存在唯一的一個元素y與之對應(yīng)，則稱對應(yīng)法則f是X上的一個函數(shù)，記作y=f（x），稱X為函數(shù)f（x）的定義域，集合{y|y=f（x）, x∈X}為其值域（值域是Y的子集）, x叫作自變量，y叫作因變量，習(xí)慣上也說y是x的函數(shù)。

本教材中常用的函數(shù)是一元函數(shù)y=f（x）和二元函數(shù)y=f（x1, x2）。這些函數(shù)在數(shù)學(xué)中都屬于顯函數(shù)，因為y都可以由x顯性表示出來。還有一類函數(shù)稱為隱函數(shù)，即y沒有由x顯性表示出來，其一般形式為F（x, y）=0。