第三節(jié) 最優(yōu)化

在經(jīng)濟學(xué)中，經(jīng)常要碰到效用最大化、成本最小化、利潤最大化等問題，這些問題都是要求極（最）大值或極（最）小值，統(tǒng)統(tǒng)都可以歸結(jié)為最優(yōu)化問題?，F(xiàn)在我們就來學(xué)習(xí)一些基本的最優(yōu)化的方法。

一、無約束的最優(yōu)化

（一）一元函數(shù)的最優(yōu)化

一元函數(shù)的最優(yōu)化問題比較簡單，但對后面的最優(yōu)化問題有很強的啟示，我們先討論最大化問題max y=f（x）。

我們知道，當(dāng)上式實現(xiàn)最大化時，必須滿足一階條件和二階條件，一階條件是必要條件，二階條件是充分條件。

一階條件：當(dāng)x*為最優(yōu)解時，有f′（x*）=0

二階條件：當(dāng)x為x*時，d2y＜0，即f″（x*）＜0

f″（x）＜0實際上要求函數(shù)為凹函數(shù)。

對于最小化問題min y=f（x）。

一階條件：當(dāng)x*為最優(yōu)解時，有f′（x*）=0

二階條件：當(dāng)x為x*時，d2y＞0，即f″（x*）＞0

f″（x）＞0實際上要求函數(shù)為凸函數(shù)。

（二）二元函數(shù)的最優(yōu)化

對于最大化問題max y=f（x1, x2）。

一階條件：當(dāng)為最優(yōu)解時，有

二階條件：當(dāng)x為時，有f11＜0且

現(xiàn)在來證明二階條件：

當(dāng)滿足一階條件時，并不一定能實現(xiàn)y的最大化，必須要滿足二階條件才能使y取得最大值，二階條件的要求是。

要d2y＜0，就必須要有

即

因為，所以二階條件也可以寫成

在經(jīng)濟學(xué)中，被稱為海塞行列式，用H表示。

對于最小化問題min y=f（x1, x2）。

一階條件：當(dāng)為最優(yōu)解時，有

二階條件：當(dāng)x為時，有f11＞0且，或者

（三）函數(shù)的凹凸性

當(dāng)函數(shù)為凹函數(shù)時，函數(shù)可以取得最大值；當(dāng)函數(shù)為凸函數(shù)時，函數(shù)可以取得最小值，如圖1-2所示。

現(xiàn)在我們就給出函數(shù)凹凸性的定義：

函數(shù)y=f（x1, x2）

定義1：對于任意兩點和，

如果，那么f（x1, x2）為凹函數(shù)。

如果，那么f（x1, x2）為凸函數(shù)。

其中，θ∈[0,1]。當(dāng)不等號嚴(yán)格成立時，稱f（x1, x2）為嚴(yán)格凹（凸）函數(shù)。

從圖形上看，當(dāng)曲線上任意兩點的連線都在曲線的下方時，函數(shù)為凹函數(shù)；當(dāng)曲線上任意兩點的連線都在曲線的上方時，函數(shù)為凸函數(shù)，如圖1-3所示。

定義2：當(dāng)函數(shù)y=f（x1, x2）可導(dǎo)時，

若f11≤0且≥0，則f（x1, x2）為凹函數(shù)，不等號嚴(yán)格成立，則為嚴(yán)格凹函數(shù)。

若f11≥0且，則f（x1, x2）為凸函數(shù)，不等號嚴(yán)格成立，則為嚴(yán)格凸函數(shù)。

比較這個定義和前面最優(yōu)化問題的二階條件，我們就可以看到，當(dāng)函數(shù)為嚴(yán)格凹（凸）函數(shù)時，函數(shù)就自動滿足了最大（?。┲档亩A條件了。

（四）帶參變量的最優(yōu)化及包絡(luò)定理

現(xiàn)在要求的最大化問題為max y=f（x1, x2, a），其中a為參數(shù)。

根據(jù)一階條件有

?f（x1, x2, a）/?x1=0

?f（x1, x2, a）/?x2=0

由上兩式可以求解得

把最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)，得

從上式得知最優(yōu)值實際上是參數(shù)a的函數(shù)，即y*=y*（a），我們把這個函數(shù)稱為值函數(shù)?，F(xiàn)在我們想看看參數(shù)a的變化對值函數(shù)的影響，即求dy*/da。

由一階條件可知，前兩項為0，則

這說明值函數(shù)對參變量求導(dǎo)就等于原函數(shù)直接對參變量求導(dǎo)，這就是所謂的包絡(luò)定理。包絡(luò)定理在今后的章節(jié)中大量運用，可以大大簡化我們的運算。

二、等式約束下的最優(yōu)化

（一）一般情形

很大一部分經(jīng)濟學(xué)中的最優(yōu)化問題是有約束條件的最優(yōu)化問題，特別是等式約束下的最優(yōu)化非常普遍。本部分探討求解等式約束下的最優(yōu)化的方法和需要滿足的條件，不給出過多的證明。

等式約束下的最大化問題的一般形式為

max y=f（x1, x2）

s. t. g（x1, x2）=c

求解這個問題的一般方法為拉格朗日乘數(shù)法，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

L=f（x1, x2）+λ[c-g（x1, x2）]

一階條件為

?L/?x1=f1-λg1=0

?L/?x2=f2-λg2=0

?L/?λ=c-g（x1, x2）=0

前面兩個等式可以合為一個，即

f1/g1=f2/g2=λ

二階條件為

我們把稱為加邊的海塞行列式。

對于等式約束下的最小化問題：

min y=f（x1, x2）

s. t. g（x1, x2）=c

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

L=f（x1, x2）+λ[c-g（x1, x2）]

一階條件為

?L/?x1=f1-λg1=0

?L/?x2=f2-λg2=0

?L/?λ=c-g（x1, x2）=0

二階條件為加邊的海塞行列式小于0，即H-＜0。

（二）線性約束

接下來，我們討論等式約束中的一種特殊情形——線性約束。于是，最優(yōu)化的問題就轉(zhuǎn)化為：

max y= f（x1, x2）

s. t. ax1+bx2=c

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：

L= f（x1, x2）+λ（c-ax1-bx2）

一階條件為

?L/?x1= f1-λa=0，即a= f1/λ

?L/?x2= f2-λb=0，即b= f2/λ

?L /?λ= c-ax1-bx2=0

根據(jù)前面的討論可得，二階條件要求加邊海塞行列式大于零，即

最終要求

從上述的一階條件和二階條件可知，在線性等式約束條件下，目標(biāo)函數(shù)y=f（x1,x2）要取得極大值，很大程度上取決于目標(biāo)函數(shù)的性質(zhì)，即要求2f12f1f2-。而滿足這一要求的函數(shù)我們稱為嚴(yán)格的擬凹函數(shù)。如果2f12f1f2-，則函數(shù)為擬凹函數(shù)。擬凹函數(shù)又稱為準(zhǔn)凹函數(shù)，是類似于凹函數(shù)的函數(shù)。實際上，凹函數(shù)一定是擬凹函數(shù)，但擬凹函數(shù)不一定是凹函數(shù)。

擬凹函數(shù)在經(jīng)濟學(xué)中有廣泛的運用，對于它的具體經(jīng)濟學(xué)含義，我們今后在討論具體的經(jīng)濟學(xué)問題的時候再介紹。