黎曼的一段耐人尋味的話
前段時間回了一趟國，當然，免不了要逛逛書店。在所購買的少數理科類圖書中有德國數學大師菲利克斯·克萊因（Felix Klein）的《數學在19世紀的發展》（共兩卷）。出于在《拙劣翻譯與文科研究的風險》一文（收錄于本書）所提到的原因，我近來已極少購買譯作（哪怕是理科的譯作）。不過，這套書的譯校者中有我較信賴者（比如齊民友），原始語種（德語）非我所能閱讀，以及完整英譯本不存在這幾大特點，還是使我破了一次例。
回到紐約后，隨手翻看了第二卷譯者李培廉所撰的譯后記。該譯后記的內容頗為翔實，既有對翻譯過程及翻譯心得的回顧，也有對圖書本身的介紹。其中對附錄Ⅲ的介紹引起了我的興趣。該附錄所收錄的是波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）1854年的著名演講《論奠定幾何學基礎之假設》（On the Hypotheses Which Lie at the Foundation of Geometry）。這篇在黎曼去世后的1868年才發表的演講奠定了黎曼幾何的基礎，是黎曼一生最重要、對后世影響最大的論文之一。
引起我興趣的是李培廉用粗體字特意強調的一小段話，那是黎曼在評述無窮小線元長度可以用一個二次微分式的平方根來表示的假設（用現代記號來表示，即ds2=gijdxidxj）時所寫的：
如果線元可用一二次微分式的平方根來表示的假設不成立，更為復雜的關系就可能出現。但是現在看來確立空間度量基礎的經驗的概念，即剛體和光線的概念，在無窮小的范圍內已經失效；因此很可以設想，在無窮小的范圍內空間的度量關系與幾何學的假設并不相符……
這段文字是李培廉的譯文，由英國著名數學家威廉·金登·克利福德（William Kingdon Clifford）所譯的英文版的相應文字為：
Still more complicated relations may exist if we no longer suppose the linear element expressible as the square root of a quadric differential. Now it seems that the empirical notions on which the metrical determinations of space are founded, the notion of a solid body and of a ray of light, cease to be valid for the infinitely small. We are therefore quite at liberty to suppose that the metric relations of space in the infinitely small do not conform to the hypotheses of geometry...
兩者大體是一致的。
李培廉盛贊了這段話，嘆之為“多么驚人的遠見卓識”，并認為是廣義相對論的發展吸引了太多的注意力，才使“這一高瞻遠矚的思想沒有得到應有的重視”，以至于直到量子力學誕生之后才由德國數學家赫爾曼·外爾（Hermann Weyl）在《幾何學與物理學》一文中作了以下闡釋：
在量子理論中，我們相信已經認識到，那些概念（盧注：指剛體和光線的概念）在接近無限小的時候是如何變得站不住腳的：當維度（盧注：宜譯為“線度”或“尺度”）達到了作用量子的有限值能被感覺到時，所有物理量的統計學上的不確定性就越來越強地顯示出來。
除引述外爾的話外，李培廉自己也補充道：
這一點在近年來更在頗受人關注的“超弦”理論中得到了應驗：按照這個理論，在尺度為Planck(1)單位范圍內，空間是11維的……但是這個11維的空間只有一個時間維和三個空間維是伸展開來的，其他維都卷起來了……
這些意在論證（或“應驗”）黎曼的“遠見卓識”或“高瞻遠矚”的物理闡釋——外爾的以及李培廉自己的——其實都是似是而非的，因為量子力學并未在“維度達到了作用量子的有限值能被感覺到”的情形下修正無窮小線元長度可以用一個二次微分式的平方根來表示的假設；超弦理論中的高維空間也并不影響上述假設（事實上，黎曼那篇論文本身就是涵蓋高維空間的）。不過，比這種對物理理論的似是而非的援引更值得引起注意的，是這種“論證”本身對黎曼的話就有一定的誤解，因為這種“論證”首先是把黎曼的話當成了“遠見卓識”或“高瞻遠矚”。這兩個形容詞一般而論，黎曼顯然是當之無愧的，但具體到上面那段話，卻似乎與黎曼的語氣有一定的出入，因為“遠見卓識”或“高瞻遠矚”都有一種將那段話當作預見或猜測的意味，而黎曼所說的卻是“但是現在看來……已經失效”（Now it seems...cease to be valid），這并不是預見或猜測的口吻，而更像是在敘述一件事實，或對事實的某種詮釋。
這就引發了一個有趣的問題：在他作演講的1854年，究竟是什么事實——哪怕是傳聞性的“事實”甚至誤解——使黎曼以這種近乎肯定的語氣寫下了“剛體和光線的概念，在無窮小的范圍內已經失效”（the notion of a solid body and of a ray of light, cease to be valid for the infinitely small）那樣的話？
對這個問題，我覺得令人好奇和耐人尋味，但尚無頭緒。以我對物理學史的了解，當時（即1854年）應該并不存在任何物理上有影響力的東西，哪怕如外爾對量子力學或李培廉對超弦理論的似是而非的援引那樣，能夠被解讀為“剛體和光線的概念，在無窮小的范圍內已經失效”。
我之所以討論這段話，還有一個原因，那就是想起了拙作《黎曼猜想漫談》中提到過的黎曼以肯定的語氣寫下的許多其他命題——尤其是迄今未能證明的有關黎曼ζ函數非平凡零點分布的所謂“第二個命題”（參閱《黎曼猜想漫談》的第五節）(2)。由于黎曼的巨大聲望，數學家和數學史學家大都對黎曼論文中的語氣給予了比較認真的看待，甚至因此而不無困擾，拙作也附從了那樣的看待。不過本文所討論的這段在當時的物理上似乎沒有可能存在依據、卻被黎曼以近乎肯定的語氣寫下的話，使我忽然產生了一個想法：會不會是黎曼對文字語氣的運用其實沒有人們想象的那樣嚴謹(3)？若如此，則那些被黎曼以肯定或近乎肯定的語氣寫下的話——不限于本文所討論的——就未必是陳述事實了，而那些因視其為事實而出現的困擾則有可能是“過分解讀”。當然，如此一來，那些話的大部分就確實變成了“遠見卓識”或“高瞻遠矚”。
2013年9月22日
(1)Planck：普朗克。
(2)《黎曼猜想漫談》初版于2012年8月由清華大學出版社出版，修訂版《黎曼猜想漫談：一場攀登數學高峰的天才盛宴》于2016年9月由清華大學出版社出版。
(3)另一種可能性是黎曼的有些用詞在從德語翻譯成其他語言時顯示出了比原先更強的語氣，這種可能性懂德語的人應該很容易核實或排除，我不懂德語，因此只能列出供討論。