3.4.3　平面中心線線形擬合

由于施工的誤差、高速公路經過多年的運營存在路基變形，高速公路的中心線線位和原設計存在一定的偏差，在進行拓寬時，必須對既有高速公路的中心線進行擬合。

1.平面中心線的計算模型

公路中心線是由一系列直線、圓曲線、緩和曲線首尾相連組合而成。用數學語言可以這樣表述：集合A=｛直線，緩和曲線，圓曲線｝，令ai∈A（i=1，2，3，…，n），對于任意線形設計單元ai，可以用狀態描述方程來表述其幾何特性。

中心線任一線形單元上任一點的狀態描述值（x，y），可以采用如下方程進行描述：

式中：（x0，y0）——線形單元起點的坐標；

φ0——線形單元起點的方位角；

S——線形單元任一點到線形單元起點的長度；

k（S）——線形單元的曲率方程。

直線、圓曲線、緩和曲線的坐標方程計算模型分別如下：

（1）直線：

（2）圓曲線：

式中：sign=｛1，-1｝，sign=1——圓曲線逆時針轉，反之表示圓曲線順時針轉；

R——圓弧半徑。

（3）緩和曲線：

式中：Rb——緩和曲線起點的半徑；

Re——緩和曲線終點的半徑；

A——緩和曲線參數。

sign1=｛1，-1｝，sign2=｛1，-1｝。

式中：sign1=1——緩和曲線逆時針轉，反之表示順時針轉。

sign2=1——緩和曲線Rb＞Re并且sign1=1或緩和曲線Rb＜Re并且sign1=-1；

sign2=-1——緩和曲線Rb＜Re并且sign1=1或緩和曲線Rb＞Re并且sign1=-1。

2.平面線形擬合技術

高速公路改造，平面設計需要了解原平面線形的設計資料以及竣工資料，然后需要對現狀的公路進行測量，在此基礎上，可以進行平面線形擬合。

（1）平面擬合設計的流程。

第一步：輸入原設計的竣工資料，生成竣工圖的平面設計中心線。

第二步：檢查平面坐標散點數據，剔除突變點。

第三步：劃分點位段落。可據各點對應的曲率半徑的變化，確定點位所處的曲線類型。點位在直線段內則ρ=∞；點位在緩和曲線段內則ρ均勻變化；點位在圓曲線段內則ρ=R。

第四步：求解曲線參數。對于直線段內的散點，利用直線擬合技術求出平曲線的交點坐標；對于圓曲線內的散點，利用圓曲線擬合技術求出半徑R；對于緩和曲線內的散點，利用緩和曲線擬合技術求出要素A或緩和曲線長度L。

第五步：進行控制點校核。

經過上述各個步驟，已經得出由散點數據能得到的效果最好的擬合線位數據，其誤差最小。通過進一步調整線位數據得到滿足條件的平面線位數據。

（2）平面擬合設計模型。

公路平面線形通常由直線、圓曲線和緩和曲線組成。下面分別討論各個線形擬合的理論依據：

1）直線擬合。

根據最小二乘法原理：數據在使各個誤差平方和最小的意義下，擬合函數與觀測值將達到最佳擬合效果。

如果點位（x，y）在直線段內，則變量間存在線性關系，可用y=ax+b來擬合它們之間的變化關系，由最小二乘法，應使

得：

式中：

利用上述公式可求出散點所在的直線方程式：y=ax+b

則相鄰兩直線的導線交點坐標為即為所求平曲線的交點坐標。

擬合線位與原路線的吻合程度由相關系數來檢驗：

當|γ|越接近1表明擬合線位相關性越理想。

2）圓曲線擬合。

圓曲線的圓弧方程的一般形式為：？

式中：x0，y0——擬合圓弧的圓心坐標；

R0——擬合圓弧的半徑。

將上式展開：

令：

則：x 2+y 2+Ex+Fy+G=0

用原公路上已測得的各點坐標（xi，yi）代替上式中的x和y，顯然上式計算結果不會等于0，即：

這時，可用最小二乘擬合法來確定E，F，G，于是偏差平方的總和為：

使上式為最小值，有

其中

相應方程的矩陣形式為：

式中：∑Lx=∑Lxi；∑Ly=∑Lyi。

求解方程組：

依次可以求得：

擬合圓曲線半徑的偏差：

3）緩和曲線的擬合。

求出直線和圓曲線的參數方程后，可以依次求得為直線與圓弧的垂直切線長度LL，由公式：

通過二分法可求出緩和長度Ls。

3.平面線形擬合標準

既有高速公路中心線應依據現場實測數據進行擬合，并應以工程竣工資料進行線形校驗，平面擬合線形應由直線、圓曲線、緩和曲線組成，線形擬合設計應符合下列規定：

（1）兩側拼寬路段宜獨立進行平面線形擬合設計。

1）擬合設計應依據平面線形，按左、右幅中央分隔帶邊緣線實測點位的平面坐標進行擬合，左、右幅兩側測點資料應進行相互校核。

2）應合理選擇擬合控制點，控制點宜為橋梁的跨中與橋臺、互通式立體交叉和分離式立體交叉的交叉點等。

3）平面線形擬合的技術標準主要采用測設點到擬合中心線垂直距離的標準誤差作為評價指標。

假定平面中心線有N個線形單元組成，第i個線形單元的坐標擬合點有Ki個，其中第j個坐標點到對應的擬合線形單元的垂直距離是Lij，則平面線形擬合的標準誤差計算式為：

高速公路經過多年的運營，盡管存在一定程度的路基變形，但一般不大，以滬寧高速公路（上海段）為例，路基變形在0～0.40m，平均為0.28m，因此，高速公路的擬合中心線的標準誤差不會過大，一般控制在0.20m以內。面線形擬合精度標準應符合表3-1的規定。

4）對于較長曲線，可采用多元復曲線進行擬合設計。

5）擬合后圓曲線半徑與原設計值之差小于3%時，可采用原設計值計算其他指標。

（2）單側拼寬路段，宜以既有公路平面線形為基礎，在滿足中央分隔帶設置要求的前提下進行拼寬部分的平面線形設計。

（3）整體式擴建路段的超高設計應符合下列規定：

1）應對既有高速公路超高段及超高漸變段的橫坡進行擬合，計算超高漸變率。

2）應根據擬合的平面中心線和超高值，按現行《路線設計規范》合理確定超高值。

3）超高漸變率宜和擬合值一致，當擬合值小于1/330時，應按1/330進行設計。

4）超高旋轉軸應和既有高速公路保持一致。

5）對于利用既有路面，但行駛方向發生改變的路段，應根據實際的線形指標，分析確定是否改建或采取相應管理措施。