3.4.4　縱斷面線形擬合

1.縱斷面設計的計算模型

公路縱斷面線是由一系列直線、豎曲線首尾相連組合而成。用數學語言可以這樣表述：集合A=｛直線，豎曲線｝，令ai∈A（i=1，2，3，…，n），對于任意線形設計單元ai，可以用狀態描述方程來表述其幾何特性。

中心線任一線形單元上任一點的狀態描述值h（設計高程），可以采用如下方程進行描述：

（1）直線。

式中：h0、s0——直線單元起點的高程、樁號；

S——直線單元上任意點的樁號；

i——直線單元的坡度。

（2）豎曲線（拋物線）。

式中：h0、s0——拋物線單元起點的高程、樁號；

i——拋物線單元起點的坡度；

R——拋物線單元的半徑；

S——拋物線單元上任意點的樁號。

sign=｛1，-1｝，sign=1表示是凸型豎曲線，sign=-1表示是凹型豎曲線。

2.縱斷面擬合技術

高速公路改造，縱斷面設計需要了解現狀道路的縱斷面線形。既有高速公路經過多年運營，由于不均勻沉降以及施工誤差等原因，其現狀縱斷面線同原設計數據可能存在較大的不同，需要利用測量或地面數字模型得到的樁號、縱斷面高程數據進行擬合，得出縱斷面的擬合線（包括數據變坡點標高和豎曲線半徑）。

（1）縱斷面擬合設計的流程。

縱斷面設計的工作流程如下：

第一步：對原始二維數據（樁號，高程）進行擬合，得到一條平順的貼近現狀路面的擬合曲線。

第二步：由擬合曲線3階導數確定地面線變化的拐點，然后利用一元線性回歸確定初始變坡點。

第三步：為變坡點配置豎曲線。

第四步：對上述數據進行修正，得到擬合后的最終縱斷面線。

根據以上的四步流程，下面分別論述。

（2）現狀路面線的初始擬合。

采用最小二乘曲線擬合法對現狀縱斷面的地面線進行擬合，數學模型如下：

設已知n個測點數據（樁號，高程）表示為（si，hi）（i=0，1，…，n-1），最小二乘擬合多項式為pm-1（s）=a0+a1s+a2s2+…+…+am-1sm-1，m為最小二乘曲線擬合多項式的項數，m≤n且m≤30。

最小二乘曲線擬合次數m較低時，擬合曲線較為平順，曲線的極值點較少，反之擬合次數越高時，擬合曲線越不平順，曲線的極值點越多。平原地區的既有高速公路的路面線形較為平順，最小二乘曲線擬合次數可取較小值。

（3）初始變坡點的確定。

由于初始擬合曲線連續可導，并且擬合曲線3階導數為0處的點即為曲線拐點（凹凸變化點的位置）。

在拐點i和拐點i+1之間采用一元線性回歸定出初始變坡線。

假定初始坡線方程為：h=a·s+b。方程中s，h為初始變坡點的樁號和高程，a，b為待定系數，其中a代表縱坡。

為確定回歸系數a，b通常采用最小二乘法，即要使達到最小，a，b值分別為：

在每個拐點處，均用一元線性回歸的方法定出一段回歸線，每相鄰兩條直線相交而產生一個交點（變坡點），其樁號和高程分別為：

（4）豎曲線半徑的確定。

豎曲線的初始半徑又有擬合曲線方程h=pm-1（S）=a0+a1s+a2s2+…+am-1sm-1得到：

h′=a1+a2s+a3s2+…+am-1sm-2

h″=a2+a3s+a4s2+…+am-1sm-3

因此，變坡點（Hi，Si）處的豎曲線半徑為：

（5）最終縱斷面擬合線的確定。

根據上述方法依次求得各個變坡點高程、樁號以及豎曲線半徑后，在圖上繪出圖形，設計人員可以根據實際情況進行調整，最后得到既有高速公路的現狀縱斷面線形。

對于既有公路路基高度不滿足設計水位要求時，應調整縱斷面線形或采取其他有效措施。

此外，整體式擴建路段，分幅設計縱斷面設計線標高宜分別采用中央分隔帶左、右側邊線標高。分離式擴建路段，縱斷面設計線標高宜采用新建路線中心線標高。

3.縱斷面線擬合標準

擴建工程的縱斷面設計要實現最大限度的利用現有工程，同時還要考慮到滿足技術標準的要求，因此縱斷面擬合標準包括：①測設點的高程和其對應的擬合縱斷面線高程差值的標準誤差；②最小縱坡長度。

（1）高程差值的標準誤差。

假定縱斷面線有N個線形單元組成，第i個線形單元的測設數據點有Ki個，其中第j個數據點到對應的擬合線形單元的高程差是Hij，縱斷面線形擬合的高程差值的標準誤差計算式為：

在路基設計規范中，對于軟土地基工后容許沉降的規定是：橋臺與路堤相鄰處，涵洞、通道處，一般路段分別為0.10m，0.20m，0.30m，從這個角度而言，擬合高程差值的標準誤差宜控制在0.2m以內。另外，為減少路面加罩補強的厚度，降低工程造價，擬合高程差值的標準誤差不應過大，宜控制在0.10m以內。調研實際工程案例，滬寧高速公路（江蘇段）的縱斷面的擬合高程差值的標準誤差為10cm，沈大高速公路為15cm，滬寧高速公路（上海段）為6cm。

既有高速公路縱斷面擬合精度標準應滿足表3-2的規定。

（2）最小縱坡長度。

從縱斷面擬合的精度而言，坡長越小，擬合的精度越高，但過小的縱坡長，不僅會大大低于現行設計規范關于最小縱坡長的規定，而且還會影響車輛行駛的舒適性。因此，必須確定合適的擬合最小縱坡長度。除受凈空及構造物限制的路段外，一般路段設計宜遵守“寧填勿挖”的原則；受構造物控制，不能滿足最小坡長要求的局部路段，設計最小坡長可按表3-3的規定設計。

當受構造物控制且縱坡不大時，在滿足視距的前提下，經論證，縱斷面設計可采用3s設計速度行程的豎曲線長度來控制設計。