2.1　二體問題的六個積分

作為二體問題，兩個天體P0和p均作為質點對待。分別將該二天體的質量記作m0和m，討論天體p相對天體P0的運動。此時可將緒論中的運動方程（5）改寫為下列形式：

該式中是中心天體P0到運動天體p方向的單位矢量。相應的運動坐標系O-XYZ（見圖2.1）的原點O在天體P0上（注意：此時P0是質點），但基本平面（XY坐標面）可有多種選擇。根據軌道力學問題的具體特點，對于人造地球衛星的運動問題，XY平面與地球赤道面一致，對月球衛星、火星衛星等亦有類似處理，而處理太陽系中大行星和小行星的運動問題，往往取日心黃道面作為XY平面。至于X軸方向的確定，對于太陽系而言，無論是討論行星運動，還是各大天體（包括月球）的人造衛星的運動，幾乎都是取春分點方向作為X軸方向。另外，有關赤道面、黃道面以及春分點方向的變化，對基本平面（XY坐標面）和基本方向（X軸方向）的選取有何影響，這里不再一一細談，讀者可在后面各有關章節的闡述中獲知，本章參考文獻[6]中的第1章和第6章也有專門討論。

為了簡便，常記

方程（2.2）對應的是一有心力問題，不僅是可積的（這里的可積是指上述微分方程的解可以寫成求積形式），而且容易給出六個獨立積分的完整表達式。

關于上述二體問題對應的常微分方程（2.1）的完全解，通常是指如下形式：

但很難直接獲得該結果，可通過尋找六個獨立積分來達到獲取完全解的目的，而且通過這六個獨立積分可以更清楚地了解二體問題具有的運動規律，下面具體介紹。

2.1.1　動量矩積分（或稱面積積分）

據有心力的性質，可直接寫出方程（2.1）的動量矩積分，若記為面積速度矢量，則動量矩積分的具體形式如下：

這表明為一常矢量，天體p相對P0的運動為一平面運動。其中為面積速度常數，單位矢量即表示面積速度方向，它是天體運動平面的法向單位矢量。

常用天體運動軌道來描述動量矩積分的幾何意義，引用輔助天球（見圖2.2），圖中大圓AA′和BB′分別表示基本平面（XY坐標面）和運動天體軌道在輔助天球上的投影，方向即軌道面法向，i就是軌道面與基本平面的夾角，Ω即軌道升交點方向N（或稱節點，并特指運動天體由南半球向北半球運行的那個交點）的經度（對地球衛星就是赤經），從X方向起量。利用球面三角形的余弦公式（或用坐標旋轉的方法），即可導出法向單位矢量在坐標系O-XYZ中的表達式如下：

動量矩積分（2.3）包含了h，i，Ω三個積分常數，h是面積速度的兩倍，i，Ω則確定了軌道平面的空間方向。關于積分常數h，在具體應用中采用的往往是另一表達形式，這與下面給出的軌道積分有相應的聯系。

2.1.2　運動平面內的軌道積分和活力公式

既然是平面運動，而相應的平面已由（i，Ω）確定，那么，接著就可在這一確定的平面內討論降階后的方程。引入平面極坐標（r，θ），運動方程（2.1）的徑向分量為

而橫向分量為

此方程給出一個積分：

由空間極坐標（三個軸方向的單位矢量分別記作即前面的）中和的表達式

立即可得

這表明積分（2.7）就是動量矩積分（2.3）的標量形式，或稱面積積分。方程（2.5）和（2.7）構成了平面運動系統對應的三階常微分方程，需要再尋找三個獨立積分。

上述方程組的特點是不顯含自變量t，由常微分方程的基本知識可知，對于這類方程，通過分離自變量t的方法可使它降一階，即能夠首先討論r對θ的變化規律。為此，記r′＝dr/dθ，r″＝d2r/dθ2，由方程（2.7）得

將這一關系代入方程（2.5），即可給出r對θ的二階方程。但相應的方程仍不便于求解，如果在降階的同時，再作變量變換：

有。利用這一關系即可得到u對θ的一個二階常系數線性方程：

這顯然是可積的，由此即可給出一軌道積分：

e和ω即兩個新積分常數。這是一圓錐曲線，在一定條件下它表示橢圓，中心天體（即O點）在其一個焦點上，考慮到本書的內容，主要涉及橢圓運動的情況，至于拋物線和雙曲線軌道，將在本章最后一節作一簡單介紹。對于橢圓，可令

那么積分（2.7）和（2.13）又可寫成

積分常數h由a代替，這里p是橢圓的半通徑，a是半長徑，e是偏心率，ω則稱為運動天體過近星點P的幅角，因在P點方向θ＝ω時，r達到最小值，故稱P點方向為近星點方向。注意，近星點幅角ω和極坐標變量θ都是從節點N方向起量的，這在二體問題中無區別，當有攝動時，橢圓隨時間變化，升交點方向也在變化，ω應從該變化的升交點方向起量，而極坐標變量θ卻仍應從一個定義的不變方向起量，兩者是有區別的。

將r＝r（θ）的關系代入方程（2.15），原則上可以給出最后一個與時間t有關的積分，這留待下一小節介紹，這里給出橢圓運動的幾個常用關系。由（2.15）和（2.16）兩式，經簡單的運算可得

此即活力公式。另外，既然是橢圓運動，那么運動天體的向徑在一個周期T內掃過的面積就是橢圓的面積，由此可知兩倍的面積速度h為

整理后可給出如下關系式：

若引進平運動角速度n＝2π/T，則上式又可寫成

這兩個表達式就是萬有引力定律導出的開普勒（Kepler）第三定律。

這里要說明一點：上述活力公式（2.17），與動量矩積分（2.3）式的獲得類似，也可直接由運動方程（2.1）式兩端點乘獲得，即

由此立即可給出一積分如下：

此即活力積分，實際上就是N（N≥2）體問題10個經典積分中的能量積分在上述二體相對運動中的表現形式。但從二體問題求解的角度尋找六個獨立積分的過程來看，上述處理直至軌道積分（2.13）式共五個獨立積分的給出，是為了進一步尋找10個經典積分以外的另兩個獨立積分，其中之一即軌道積分，盡管它對應二階方程，它與活力積分一共只有兩個是獨立的，故稱（2.17）式為活力公式為宜。剩下一個獨立積分必與自變量t（即軌道運動的反映）有關。

2.1.3　第六個運動積分——開普勒方程

為了運算方便，在尋找第六個積分時，不直接引用方程（2.15）式按dθ/dt求解，而是利用（2.17）式按dr/dt積分，有

通過（2.20）式消去μ整理后得

對于橢圓軌道，r的極大和極小值分別為

因此有，故可按下式引入輔助量E：

a-r＝aecosE

或寫成

代入（2.21）式可得

ndt＝（1-ecosE）dE

由此便可給出第六個積分：

這又稱為開普勒方程，τ是積分常數。當t＝τ時，E＝0，相應的r＝a（1-e）＝rmin，故τ就是運動天體過近星點的時刻。

最后引進兩個角度f和M，定義如下：

f，M和E是三個角度量，分別稱為真近點角、平近點角和偏近點角，都是從近星點開始計量的，E的幾何意義見圖2.3，圖中O是橢圓焦點（也是坐標系原點），O′是輔助圓的圓心。顯然，在二體問題中，面積積分（2.7）可簡化為下列形式：

上述六個獨立積分常數實為描述天體運動軌道的一組獨立參數，通常稱為軌道根數，只要初始條件給定，它們就完全被確定。根數a，e是確定軌道大小和形狀的參數；i，Ω和ω是軌道平面和拱線（長半軸）的空間定向參數；而第六個根數τ通常被三種近點角所代替，特別是平近點角M常被引用，三種近點角本身同時包含時間t，即隨t而變化，而不是常數，故也被稱作時間根數。特別要強調一點：上述六個軌道根數a，e，i，Ω，ω，M（f，E），也常被稱作開普勒根數，這一稱呼聯系到天體力學發展的歷史。