2.2　橢圓運動的基本關系式

上述六個積分已完全確定了二體問題中天體的運動，但這六個積分的表達形式對某些實際問題使用不便，有必要在上述基礎上導出一些常用關系式。這里將根據實際工作的需要整理于下，所涉及的量不外乎六個軌道根數，時間t、各種近點角、向徑和速度等。

2.2.1　橢圓運動中各量之間的幾何關系

首先從圖2.3和開普勒方程（2.24）不難看出，三種近點角的象限關系很清楚，它們同時處在［0，π］或［π，2π］區間上，這是一個很重要的關系，它們之間的聯系即

另外，根據橢圓的性質可知，圖2.3中的，于是有

2.2.2　位置矢量和速度矢量的表達式

作為二階方程（2.1）的完整解，即本節一開始提到的如下形式：

既然六個積分已得到，那么可以寫出解（2.32）式的具體形式。這里的積分常數C1，…，C6即前面的六個軌道根數，其中C6是τ，如果改用M，（2.32）式中的t將包含在M中。

顯然有

其中和分別表示近星點和半通徑方向的單位矢量。通過坐標旋轉，很容易給出它們在直角坐標系O-XYZ中的表達式。若在以軌道面作為xy平面的直角坐標系中，x軸指向近星點方向，則相應的單位矢量有下列形式：

于是O-XYZ坐標系中的表達式將由下列矩陣旋轉得到：

其中三個旋轉矩陣的形式如下：

至于的表達式，只要將Rz（-ω）改為Rz（α），α＝-（ω＋90°）即得。

為了某些應用的需要，將和的具體表達式寫出，即

關于，根據二體問題的性質，由的表達式（2.33）可得

由面積積分（2.26）給出或由Kepler方程（2.28）給出，即可具體寫出的表達式，即

有些問題需要將六個積分常數改用初值來表達，即

這容易從表達式（2.33）和（2.42）轉換而得。首先將和表達成的形式，由

可解出和，以此代入（2.33）式和（2.42）式，經整理即可將和用的“線性”組合來表達：

但F，G，F′，G′仍與有關。F，G的形式如下：

其中Δt＝t-t0，ΔE＝E-E0，而a和ΔE由下式計算：

由于

（2.48）式類似于Kepler方程，故ΔE的計算還是比較方便的，特別當Δt不大時，比解Kepler方程（解法在后面第2.5節中給出）還快速。關于F′，G′，根據可導出

不難看出，當Δt比較小時，有

根據F，G，F′，G′的上述特征，可以采用Δt的冪級數來表達。關于這一表達形式，本章參考文獻[5]和[6]中均有具體形式，為了讓讀者了解與其有關的知識，這里簡單介紹一下其由來。凡是學過常微分方程的讀者都知道：只要運動方程（2.1）的右函數滿足相關條件（這里不再具體寫出，方程（2.1）確實滿足該條件），其滿足初始條件的解即存在，且可展成時間間隔Δt＝t-t0的冪級數：

其中為對t的k階導數在t0時刻的取值，即

要給出級數解（2.53）滿足初始條件的具體形式，就要計算各階導數在t0處的值。已給出，而二階以上各階導數值均可根據運動方程（2.1）由和構成，即

因此，上述冪級數解（2.53）可以按和整理如下：

對于本章論述的由運動方程（2.1）表達的二體問題，F和G即可由Δt的冪級數表達。為了在實際工作中引用方便，且有利于量級分析，在具體給出F和G的展開式時，采用歸一化單位，即采用相應的質量和長度單位，使引力常數G＝1和μ＝G（m0＋m）＝1，這里的質量單位是（m0＋m），長度單位記作L（例如中心天體P0的赤道半徑，或適當的長度），相應的時間單位即（L3/G（m0＋m））1/2。在此單位系統中，有

其中

相應地有

不難看出，在上述歸一化單位系統中，若將r0近似地看作運動天體軌道的半長徑a，則u0＝，n即平運動角速度。于是F，G的量級特征為

其中Δτ＝nΔt是運動弧段，這一特征在初軌確定中是一個重要的初始信息，在本書的第6章中將會具體闡述其應用價值。

2.2.3　橢圓運動中一些量對軌道根數的偏導數

在研究天體運動規律或計算其位置時，除遇到六個軌道根數a，e，i，Ω，ω，M外，還會涉及由它們構成的一些函數，而這些函數關系中的基本量就是E，f，r，因此，只要給出這些量對軌道根數的偏導數就夠了。

首先分析上述量與六個獨立根數之間的函數關系，由方程（2.27）～（2.30）式可知

那么，利用前面的幾何關系即可推出相應的偏導數，它們是

若獨立根數M改為E，則有

若獨立根數M改為f，則有

在實際應用中，常常出現這一因子，由可直接得到。顯然，只是e和近點角的函數，因此有

其中θ是M，E，f中的一個。

對于小偏心率問題，往往不采用上述六個軌道根數作為基本變量，而改用

六個變量，f，E將由u＝f＋ω，v＝E＋ω代替。若要推出相應的偏導數，其關鍵仍在于首先分析清楚函數關系。由

可知

利用這一關系再推導相應的偏導數顯然是容易的，例如

其中前面已給出，剩下的問題只是根據上述函數關系（2.64）式去推導，…，這對讀者來說是極其簡單的，這里不再一一列出。

在定軌問題中，還會用到這兩組偏導數。由和的表達式（2.33）和（2.42）不難得知，它們分別涉及兩類偏導數。如果仍用a，e，i，Ω，ω，M作為基本變量σ，則一類偏導數是前面已導出的，另一類是單位矢量和對三個角度量的偏導數，即直接由和的表達式（2.39）和（2.40）可以推導，但不便于將結果寫成簡單形式，若用矢量旋轉法就方便得多，具體結果如下:

其中即軌道面法向單位矢量，其表達式即前面的（2.4）式，又可寫成下列形式：

相應的有

而H，K，H′，K′則由下列各式表達：

2.2.4　近點角M，E，f與時間t之間的微分關系

根據三種近點角的定義，利用面積積分（2.26）和Kepler方程（2.28）以及上述各有關表達式，可給出

在后面要討論的問題中，積分時常遇到上述幾種變量之間的轉換，為了方便，不妨根據（2.72）式將這些關系整理如下：

注意，這組微分關系是建立在六個軌道根數為常數基礎上的，嚴格地說，它們僅適用于二體問題，這與前面的幾何關系式以及相應的偏導數關系式不一樣。