2.3　橢圓運動的展開式

在很多問題中，需要將有關(guān)量通過平近點角M表示成時間t的顯函數(shù)，但由Kepler方程可知，這將涉及超越函數(shù)關(guān)系，無法直接達(dá)到上述要求。因此，必須將等量展開成M的三角級數(shù)，而在這些展開式中又要用到兩個特殊函數(shù)：第一類貝塞耳（Bessel）函數(shù)和超幾何函數(shù)（或稱超幾何級數(shù)），為了讀者引用方便，首先簡單地介紹一下這兩個函數(shù)的有關(guān)知識，詳細(xì)內(nèi)容請翻閱特殊函數(shù)一類書籍。

第一類貝塞耳函數(shù)Jn（x）是二階線性常微分方程

的一個解，它由下列級數(shù)表達(dá)：

其中n為整數(shù)（n＝0，1，2，…），x為任意實數(shù)，而k!由下式定義

Jn（x）又是展開式的函數(shù)，即

其中e是自然對數(shù)的底，而z可以是復(fù)變量。由此可給出Jn（x）的積分表達(dá)式，即

根據(jù)Jn（x）的定義不難得出下列一些重要性質(zhì)：

超幾何函數(shù)F（a，b，c；x）是如下二階線性常微分方程

的一個解，其中a，b，c是常數(shù)，解的形式如下：

2.3.1　sinkE和coskE的展開式

這里直接列出展開結(jié)果，它們在本章參考文獻(xiàn)[1]～[2]中有詳細(xì)的推導(dǎo)。對k＞1有

對k＝1有

2.3.2　和的展開式

由

可給出

2.3.3　sinf和cosf的展開式

利用偏導(dǎo)數(shù)關(guān)系式（2.61）可得

由此給出

由軌道方程（2.16）給出

2.3.4　f的展開式

利用sinf和cosf的展開式，取到e4項有

2.3.5　和的展開式

這里n和m均為任意整數(shù)（包括零）。若僅用上述基本展開式，要給出這兩個函數(shù)對M的三角級數(shù)（特別是一般表達(dá)式），那是相當(dāng)困難的，下面就對這兩個函數(shù)直接進(jìn)行傅立葉（Fourier）展開。函數(shù)F（f）展成傅立葉級數(shù)的基本形式為

是偶函數(shù)，bp＝0，且

對于被積函數(shù)的第二部分，可令p＝-p，對應(yīng)p＝-1，-2，…，-∞，由此給出

其中

是奇函數(shù)，ap＝0，bp的計算公式為

對被積函數(shù)第二部分的處理同上，結(jié)果為

由于上述兩個函數(shù)的展開式系數(shù)相同，可用指數(shù)形式將它們表達(dá)成統(tǒng)一形式，即

其中是虛數(shù)單位。因

（2.99）式中的就是由（2.96）式表達(dá)的，稱為漢森（Hansen）系數(shù)，它是偏心率e的函數(shù)，無法用初等函數(shù)來表達(dá)它的具體形式，只能引用貝塞耳函數(shù)和超幾何函數(shù)，詳細(xì)推導(dǎo)見本章參考文獻(xiàn)[7]，這里直接列出展開結(jié)果。

由（2.96）式即可給出

又根據(jù)可知

由上述展開式可以看出，要具體給出和的展開式，是較麻煩的。為此，針對實際應(yīng)用狀況，作者給出了精確到O（e4）的表達(dá)式[8]，形式如下：

以上各展開式的系數(shù)都是關(guān)于偏心率e的無窮級數(shù)，只有當(dāng)e＜e1＝0.6627…時才收斂，e1就稱為拉普拉斯（Laplace）極限。

除上述展開式外，有些問題還需要其他類型的展開式，下面給出。

2.3.6　對f的展開式

其中p為正、負(fù)整數(shù)，β的意義同前，見（2.101）式，Tn（p，q）由超幾何函數(shù)定義[2]，即

當(dāng)p＝-1，-2時，有

由上述一般表達(dá)式可給出如下兩個具體展開式：

利用這兩個展開式，由

積分即給出