2.4 軌道根數與位置、速度矢量之間的轉換關系
2.4.1 由軌道根數σ（t）計算位置矢量
和速度矢量
這是一個星歷計算問題。關于軌道根數σ（t），如果其中時間根數采用真近點角f或偏近點角E，那么問題就很簡單，由公式（2.33）和（2.42）便可直接計算
和
。但在實際應用中，往往被采用的時間根數卻是平近點角M，而不是f或E。因此，由軌道根數σ計算
和
時就必須求解由（2.24）式表達的Kepler方程，給出所需要的偏近點角E。關于Kepler方程的解法，見后面第2.5節。
2.4.2 由
和
計算軌道根數σ（t）
（1）根數a，e，M的計算
a，e，M三個根數可以確定橢圓軌道的大小、形狀和軌道器在軌道平面內相對近星點的位置，都是軌道平面內的量。根據活力公式（2.17），r的表達式（2.23），
和
的數量積以及Kepler方程的解，可給出分別計算a，e，M的表達式，即
這里用到
和
的表達式（2.33）和（2.42）式。上述各式中的r，v和
由下式計算
（2）三個定向根數i，Ω，ω的計算
從第2.1節和2.2節中已了解到這三個根數確定了
三個單位矢量，而這三個單位矢量又是由
和
確定的。那么由（2.33）和（2.42）式容易解出
而動量矩積分則給出
只需要Pz，Qz和Rx，Ry，Rz，即可計算i，Ω，ω。由
表達式（2.39），（2.40）和（2.4），可給出
則
計算ω，Ω與E一樣，均有確定象限問題，故必須用兩個三角函數值，而對i只需用一個cosi值就夠了，關于這一點，讀者是容易理解的。
2.4.3 由
和
計算σ（t0）
這里t0可以是t1或t2，亦可取其他值，例如中間值t0＝（t1＋t2）/2。由
和
計算σ0＝σ（t0）的方法很多，下面介紹一種比較典型的方法。
首先由
和
計算
和
，然后按照上一節的方法計算σ0。根據關系式（2.45），有
其中F1，G1和F2，G2，即由公式（2.46）或（2.57）表達。相應的Δt分別為
由（2.125）式可解出
求解
和
實為一迭代過程，Fj，Gj（j＝1，2，…）的初值可取
其中
具體計算F，G時，可采用展開式（2.57）或封閉形式（2.46）～（2.49）。
獲得
和
后，即可按照上一節的方法計算σ0，其過程不再重復。
2.4.4 開普勒方程的解法
根據（2.25）式定義的平近點角M，Kepler方程（2.24）式可寫成
當e＝0時，對應圓軌道，有E＝M，這是一個簡單關系式，而當e＝1時，則轉化為Barker方程[9]～[10]。對于橢圓運動，則有0＜e＜1，Kepler方程實為一超越方程。
關于這一超越方程，其解法曾經出現過多種，當偏心率較小時，前面的級數展開式（2.87）即便于由（e，M）直接計算偏近點角E。但是對于各種不同的偏心率和不同的精度要求，最好有一種較通用的簡單算法，按此要求，對于e不接近1的軌道，普通迭代法和簡單的牛頓法（或稱微分改正法）便是較理想的近似解法。
（1）簡單迭代法
由于e＜1，下述迭代法是收斂的，
（2）牛頓法
記
根據
有
關于上述兩種方法中初值E0的選取，本章參考文獻[9]中有詳盡的討論，在一般情況下，可作簡單的選取，即取E0＝M。對于e接近1的情況，讀者可參閱有關文獻。但必須注意，任何包含迭代過程的近似解法，對收斂的控制標準ε，即ΔEk＝Ek＋1-Ek≤ε中的ε值，既要考慮問題的精度要求，又要考慮所用計算機的實際有效字長，否則將會造成“死循環”。另外，對于e較大的問題，為了節省計算機時，最好能避開選取平近點角M作為第六個根數，這在采用數值方法求解以軌道根數作為基本變量的天體運動方程時是可以實現的，后面第6章將會介紹這一內容。