2.5　衛(wèi)星軌道量的幾種表達形式與計算

第1章關于坐標系的介紹已指出，對于衛(wèi)星測量、姿態(tài)以及軌道誤差的描述等，有其特定的要求，需要定義相應的空間坐標系。這類坐標系都涉及衛(wèi)星運動的軌道，盡管衛(wèi)星的軌道是變化的，但下一章要闡述的對衛(wèi)星軌道變化采用的處理方法，會給出這樣的結論：任一瞬間，衛(wèi)星軌道都可以看作瞬時橢圓（拋物線或雙曲線），相應的軌道與坐標、速度之間的幾何關系同樣遵循二體問題對應的規(guī)律。在此基礎上，容易建立衛(wèi)星測量、姿態(tài)以及軌道誤差表達中所需要的轉換關系。

2.5.1　衛(wèi)星軌道升交點經度的兩種表達形式

在衛(wèi)星發(fā)射過程中，由于需要，往往有人采用一種過渡的“地固坐標系”來定義衛(wèi)星軌道升交點的經度，實際上這種提法容易引起誤解，在真正的地固坐標系中去看衛(wèi)星的運動軌道，并不是簡單的橢圓，這一點無需多加解釋。上述所謂的“地固坐標系”，實指“修正”的地心天球坐標系，僅僅將該坐標系的X坐標軸從春分點方向移至地固坐標系中采用的格林尼治子午線方向（詳見第1章1.3.3小節(jié)），從地面發(fā)射角度來考慮，這是容易理解的。在此坐標系中，衛(wèi)星軌道升交點經度就是通常所指的地理經度，記作ΩG，有如下簡單的換算關系：

該式中的SG即格林尼治恒星時，其計算方法見第1章的1.3.4～1.3.5兩小節(jié)。

這里順便作一簡單說明，由于習慣稱謂，地球上站點經緯度中的經度容易和描述軌道升交點中的經度相混淆。顯然，前者是指從格林尼治子午線方向起量的，而后者習慣將赤道坐標系中的赤經和黃道坐標系中的黃經就簡稱為經度。了解這一點，就不會因上述軌道升交點經度的兩種提法而引起坐標系定義的混淆。

2.5.2　地面跟蹤站對衛(wèi)星方位測量采用的表達形式

地面跟蹤站對衛(wèi)星的方位測量，往往采用兩種測量裝置，即地平式和赤道式，由此，對衛(wèi)星跟蹤的采樣分別對應地平坐標和赤道坐標（均對應站心坐標系）。通常將站心地平和赤道坐標系中的位置矢量分別用和表示，在各自對應的直角坐標系中，有下列關系存在：

其中ρ和r′各為衛(wèi)星到坐標原點的距離，A為地平經度，h為地平高度（或稱高度角E），α為赤經，δ是赤緯，具體計量在前面第1.2節(jié)中已有說明。

在軌道問題的處理中，需要將這兩種跟蹤測量資料歸算到地心天球坐標系中，這涉及站心地平坐標和站心赤道坐標與地心天球坐標系（相應的坐標矢量記作，前面各有關內容中均已采用）之間的轉換關系，該轉換由旋轉和平移完成，即

其中，φ是測站的天文緯度，S＝α＋t是春分點的時角，即測站的地方恒星時（見圖1.1），是測站的地心坐標矢量。

在衛(wèi)星跟蹤過程中，需要將軌道預報給出的狀態(tài)量（可歸結為地心天球坐標系中的坐標矢量）轉換成預報觀測量：地平坐標型（A，h），或赤道坐標型（α，δ）。相應的轉換關系即上述轉換的逆變換：

地面跟蹤站對衛(wèi)星的方位測量，涉及跟蹤站的站址坐標，在相應的地固坐標系中，跟蹤站的大地坐標記作（H，λ，φ），三個坐標分量為大地高、經度和緯度。

地心天球坐標系中的站址坐標矢量即上述，在相應的地固坐標系中，習慣記作，兩者之間的轉換關系即第1章1.3節(jié)中給出的轉換公式（1.29），這里記作

其中坐標轉換矩陣（HG）包含了四個旋轉矩陣，即歲差、章動矩陣，地球自轉矩陣和地球極移矩陣，在IAU1980規(guī)范和IAU2000規(guī)范中分別表示如下：

（2.143）式中的矩陣M（t）包含了歲差和章動兩個矩陣，詳見第1章1.3.5小節(jié)的有關內容。關于地固坐標系中，跟蹤站坐標矢量的三個直角坐標分量Xe，Ye，Ze與球坐標分量（H，λ，φ）之間的關系，見第1章1.3.3小節(jié)中的（1.26）～（1.28）式。

2.5.3　衛(wèi)星星下點的赤道坐標

衛(wèi)星星下點即衛(wèi)星到地心的連線與地球參考橢球面的交點，其位置是在地球坐標系（如無特殊要求，均指第1章中定義的地固坐標系）中定義的，相應的兩個球坐標分量為大地經緯度（λ，φ）。

在地心天球坐標系中，衛(wèi)星的坐標矢量即，其中σ是6個軌道根數：（a，e，i，Ω，ω，M）。而衛(wèi)星在地固坐標系中相應的坐標矢量即，有

其中坐標轉換矩陣（HG）已在上一小節(jié)中作過說明。

在上述表達下，很容易給出相應的衛(wèi)星星下點的坐標。如果描述星下點位置需要的是地心緯度φ′，則很簡單，有如下關系：

其中R是衛(wèi)星的地心距，而（λ，φ′）即星下點在地球參考橢球面上的位置，由該式即可給出相應的經緯度（λ，φ′）：

如果需要的是大地緯度φ，則可根據第1章1.3.3小節(jié)中的（1.26）式令大地高H＝0即得

注意，這里的f是參考橢球體的幾何扁率。

2.5.4　星體坐標系

在某些測量任務中，會涉及衛(wèi)星姿態(tài)問題所采用的星體坐標系，這里僅從軌道角度闡明有關定義，即如何將地心天球坐標系轉換至衛(wèi)星軌道坐標系，這里所說的衛(wèi)星軌道坐標系，是指衛(wèi)星軌道面為其坐標系的主平面，即x-y坐標面，而x軸方向即衛(wèi)星方向。該坐標系即由地心天球坐標系經3次旋轉來實現，若記該旋轉矩陣為（GD），有

其中u＝f＋ω是衛(wèi)星的緯度角，這里的f是衛(wèi)星的真近點角。接下來要做的就是將坐標原點平移至衛(wèi)星的“質心”等，這些都將由具體航天測量任務的需求來確定。

2.5.5　衛(wèi)星位置誤差的幾種表達形式

無論是衛(wèi)星定軌還是軌道預報，均涉及相應位置誤差的表達形式。衛(wèi)星位置誤差的基本表達形式即，而更能直接反映軌道誤差特征的表達形式是：軌道徑向、橫向和軌道面法向三分量形式，記作，三分量的構成如下：

三個方向的單位矢量由下式計算：

其中u＝f＋ω是衛(wèi)星的緯度角，和分別表示近星點和半通徑方向的單位矢量，見本章的（2.39）和（2.40）式。

在軌道偏心率不太大的情況下，上述橫向與軌道切向接近，因此橫向誤差分量Δt基本上就反映了軌道沿跡誤差的大小，這是軌道誤差中最重要的分量。