2.6　拋物線軌道和雙曲線軌道

盡管從軌道力學方法這一角度來看，顯然應該著重討論橢圓軌道及其變化規律，但無論是自然天體的運動，還是人造天體的運動（特別是深空探測器的運動），有些問題亦會涉及拋物線和雙曲線軌道，特別是雙曲線軌道。因此，從實際應用角度考慮，對這兩種軌道作一簡單介紹也是有必要的。

2.6.1　拋物線軌道

此時，e＝1，a→∞，故面積積分（2.15）式和軌道積分（2.13）式變為

該拋物線的焦點仍在中心天體上，p是半通徑，q是近星距。仍定義f為真近點角，有

那么（2.151）和（2.152）式即可分別寫成下列形式：

將式（2.155）代入式（2.154），積分該式即給出

其中τ是最后一個積分常數，與橢圓運動類似，它也是運動天體p過近星點的時刻。因此，拋物線軌道根數由于e＝1只剩下5個，即i，Ω，q，ω，τ。

2.6.2　雙曲線軌道

此時e＞1，相應的面積積分（2.15）式和軌道方程（2.13）式變為

其中

這里的p亦稱為半通徑，p和a的幾何意義見圖2.4，f是真近點角，ω是近星點角距，而相應的近星距為

活力公式（2.17）在這里變為下列形式：

類似于對橢圓運動的積分方法，由（2.162）式利用（2.157）式消除給出

引進輔助變量E

代入（2.163）式后積分該式即給出雙曲線運動的第六個積分：

其中τ為第六個積分常數，亦是過近星點的時刻。雖然這里引進的E與橢圓運動中的偏近點角E意義不同，但上述f，E和M之間的幾何關系與橢圓運動中的相應關系類似，即

由軌道方程（2.158）不難看出，1＋ecosf＝0，r→∞，由此可知：

方程（2.165）類似橢圓運動中的Kepler方程，但由于e＞1，不能用一般的迭代法求解，若用簡單的牛頓迭代法，亦容易由給定的e，M求出E。若取初值E＝E（0），則改正公式為

一般情況下，迭代過程中（2.169）式的改正部分只要取到ΔE的一次項，即

算例如下：

由e＝1.5，M＝π/4＝0.785398163，求E值。取E（0）＝M，相應的改正過程如下：

E（4）對應的eshE-E＝0.785398163，與M值在9位有效數字上完全相同。當然，還可充分利用計算機的條件，采用更快速的迭代算法，這里只是舉一個簡單的算例供讀者參考。

2.6.3　位置矢量和速度矢量的計算公式

對于上述兩種軌道，運動天體的位置矢量的表達式與橢圓軌道相同，即

其中和即近星點方向和半通徑方向的單位矢量，它們的表達式與橢圓運動中的形式相同，見（2.39）和（2.40）兩式。

關于速度矢量的表達式，兩種軌道稍有不同，對于拋物線軌道和雙曲線軌道分別為