13.2　導數的基本公式與導數的四則運算法則

本節重點知識：

1.基本初等函數的導數公式.

2.導數的四則運算法則.

13.2.1　基本初等函數的導數公式

根據導數定義，我們已知求導數的步驟，但對任何函數如果都需經過那樣煩雜的步驟去求導數，是非常麻煩的，因此需將求導運算公式化.為了方便起見，我們把基本初等函數的導數公式給出，其中有些已經證明了，其余的將通過以下幾節陸續證明.

（1）常數的導數　（c）′=0（c為常數）.

（2）冪函數的導數　（xα）′=αxα-1（α為任意實數）.

例如，（x）′=1；（x2）′=2x；；.

（3）指數函數的導數

①（ax）′=axlna（a>0，a≠1）；　②（ex）′=ex.

（4）對數函數的導數

①；　②.

（5）三角函數的導數

①（sin x）′=cos x；　②（cos x）′=-sin x；

③；　④；

⑤（secx）′=secxtan x；　⑥（cscx）′=-cscxcotx

（6）反三角函數的導數

基本初等函數的導數公式是求導的基礎，必須熟記.實際中常會遇到較復雜的函數（如基本初等函數的和、差、積、商、復合函數等）.因此需研究導數的運算法則，使復雜函數的求導問題簡單化.

13.2.2　導數的四則運算法則

設u=u（x），v=v（x）都是x的可導函數，則

法則1　（u±v）′=u′±v′；

法則2　（uv）′=u′v+uv′，特殊地（cu）′=cu′（c為常數）；

法則3　，特殊地.

注意：法則1、法則2可推廣到有限多個可導函數的情況，例如

設u=u（x），v=v（x），ω=ω（x）均可導，則有

（u±v±ω）′=u′±v′±ω′；（uvω）′=u′vω+uv′ω+uvω′.

例1　求y=x4-x2+sin x+2x的導數.

解　y′=（x4-x2+sin x+2x）′=（x4）′-（x2）′+（sin x）′+（2x）′

=4x3-2x+cos x+2xln2

練一練

（1）已知y=x5-cos x，則y′=__________；

（2）已知y=x2-x+1，則y′=__________；

（3）已知 ，則y′=__________；

（4）已知y=sin x-cos x+2x-log4x，則y′=__________.

例2　求的導數.

例3　求y=ex（sin x+cos x）的導數.

解　y′=（ex）′（sin x+cos x）+ex（sin x+cos x）′

　=ex（sin x+cos x）+ex（cos x-sin x）=2excos x.

練一練

（1）已知y=（x-3）（2x+5），則y′=__________；

（2）已知y=（3x2-1）cos x，則y′=__________；

（3）已知y=（1+ex）（1-sin x），則y′=__________；

（4）已知y=sin xcos x+2sin x-3ln x，則y′=__________.

例4　求的導數.

例5　求y=tan x的導數.

同理可得

（cotx）′=-csc2x；　（secx）′=secxtan x；　（cscx）′=-cscxcotx.

練一練

（1）已知 ，則y′=__________；

（2）已知 ，則y′=__________；

（3）已知 ，則y′=__________；

（4）已知 ，則y′=__________.

例6　求下列函數的導數：

（1）；　　（2）y=tan x+xsecx；　　（3）.

解　（1）因為，故

（2）y′=sec2x+sec x+xsecx tan x=sec x（sec x+1+x tan x）；

想一想

（1）[（2x3-1）lnx]′=（　）ln x+（2x3-1）（　）；

（2）（3x3sin x）′=（　）x2sin x+3x3（　）；