- 五年制高職數學(第三冊)
- 張瑾 鄒秀英 趙春芳
- 980字
- 2020-06-29 11:36:40
13.2 導數的基本公式與導數的四則運算法則
本節重點知識:
1.基本初等函數的導數公式.
2.導數的四則運算法則.
13.2.1 基本初等函數的導數公式
根據導數定義,我們已知求導數的步驟,但對任何函數如果都需經過那樣煩雜的步驟去求導數,是非常麻煩的,因此需將求導運算公式化.為了方便起見,我們把基本初等函數的導數公式給出,其中有些已經證明了,其余的將通過以下幾節陸續證明.
(1)常數的導數 (c)′=0(c為常數).
(2)冪函數的導數 (xα)′=αxα-1(α為任意實數).
例如,(x)′=1;(x2)′=2x;;
.
(3)指數函數的導數
①(ax)′=axlna(a>0,a≠1); ②(ex)′=ex.
(4)對數函數的導數
①; ②
.
(5)三角函數的導數
①(sin x)′=cos x; ②(cos x)′=-sin x;
③; ④
;
⑤(secx)′=secxtan x; ⑥(cscx)′=-cscxcotx
(6)反三角函數的導數

基本初等函數的導數公式是求導的基礎,必須熟記.實際中常會遇到較復雜的函數(如基本初等函數的和、差、積、商、復合函數等).因此需研究導數的運算法則,使復雜函數的求導問題簡單化.
13.2.2 導數的四則運算法則
設u=u(x),v=v(x)都是x的可導函數,則
法則1 (u±v)′=u′±v′;
法則2 (uv)′=u′v+uv′,特殊地(cu)′=cu′(c為常數);
法則3 ,特殊地
.
注意:法則1、法則2可推廣到有限多個可導函數的情況,例如
設u=u(x),v=v(x),ω=ω(x)均可導,則有
(u±v±ω)′=u′±v′±ω′;(uvω)′=u′vω+uv′ω+uvω′.
例1 求y=x4-x2+sin x+2x的導數.
解 y′=(x4-x2+sin x+2x)′=(x4)′-(x2)′+(sin x)′+(2x)′
=4x3-2x+cos x+2xln2
練一練
(1)已知y=x5-cos x,則y′=__________;
(2)已知y=x2-x+1,則y′=__________;
(3)已知 ,則y′=__________;
(4)已知y=sin x-cos x+2x-log4x,則y′=__________.
例2 求的導數.

例3 求y=ex(sin x+cos x)的導數.
解 y′=(ex)′(sin x+cos x)+ex(sin x+cos x)′
=ex(sin x+cos x)+ex(cos x-sin x)=2excos x.
練一練
(1)已知y=(x-3)(2x+5),則y′=__________;
(2)已知y=(3x2-1)cos x,則y′=__________;
(3)已知y=(1+ex)(1-sin x),則y′=__________;
(4)已知y=sin xcos x+2sin x-3ln x,則y′=__________.
例4 求的導數.

例5 求y=tan x的導數.

同理可得
(cotx)′=-csc2x; (secx)′=secxtan x; (cscx)′=-cscxcotx.
練一練
(1)已知 ,則y′=__________;
(2)已知 ,則y′=__________;
(3)已知 ,則y′=__________;
(4)已知 ,則y′=__________.
例6 求下列函數的導數:
(1); (2)y=tan x+xsecx; (3)
.
解 (1)因為,故

(2)y′=sec2x+sec x+xsecx tan x=sec x(sec x+1+x tan x);

想一想
(1)[(2x3-1)lnx]′=( )ln x+(2x3-1)( );
(2)(3x3sin x)′=( )x2sin x+3x3( );
