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13.2 導數的基本公式與導數的四則運算法則

本節重點知識:

1.基本初等函數的導數公式.

2.導數的四則運算法則.

13.2.1 基本初等函數的導數公式

根據導數定義,我們已知求導數的步驟,但對任何函數如果都需經過那樣煩雜的步驟去求導數,是非常麻煩的,因此需將求導運算公式化.為了方便起見,我們把基本初等函數的導數公式給出,其中有些已經證明了,其余的將通過以下幾節陸續證明.

(1)常數的導數 (c)′=0(c為常數).

(2)冪函數的導數 (xα)′=αxα-1(α為任意實數).

例如,(x)′=1;(x2)′=2x;.

(3)指數函數的導數

①(ax)′=axlna(a>0,a≠1); ②(ex)′=ex.

(4)對數函數的導數

; ②.

(5)三角函數的導數

①(sin x)′=cos x; ②(cos x)′=-sin x;

; ④

⑤(secx)′=secxtan x; ⑥(cscx)′=-cscxcotx

(6)反三角函數的導數

基本初等函數的導數公式是求導的基礎,必須熟記.實際中常會遇到較復雜的函數(如基本初等函數的和、差、積、商、復合函數等).因此需研究導數的運算法則,使復雜函數的求導問題簡單化.

13.2.2 導數的四則運算法則

設u=u(x),v=v(x)都是x的可導函數,則

法則1 (u±v)′=u′±v′;

法則2 (uv)′=u′v+uv′,特殊地(cu)′=cu′(c為常數);

法則3 ,特殊地.

注意:法則1、法則2可推廣到有限多個可導函數的情況,例如

設u=u(x),v=v(x),ω=ω(x)均可導,則有

(u±v±ω)′=u′±v′±ω′;(uvω)′=u′vω+uv′ω+uvω′.

例1 求y=x4-x2+sin x+2x的導數.

 y′=(x4-x2+sin x+2x)′=(x4)′-(x2)′+(sin x)′+(2x)′

=4x3-2x+cos x+2xln2

練一練

(1)已知y=x5-cos x,則y′=__________;

(2)已知y=x2-x+1,則y′=__________;

(3)已知 ,則y′=__________;

(4)已知y=sin x-cos x+2x-log4x,則y′=__________.

例2 求的導數.

例3 求y=ex(sin x+cos x)的導數.

 y′=(ex)′(sin x+cos x)+ex(sin x+cos x)′

 =ex(sin x+cos x)+ex(cos x-sin x)=2excos x.

練一練

(1)已知y=(x-3)(2x+5),則y′=__________;

(2)已知y=(3x2-1)cos x,則y′=__________;

(3)已知y=(1+ex)(1-sin x),則y′=__________;

(4)已知y=sin xcos x+2sin x-3ln x,則y′=__________.

例4 求的導數.

例5 求y=tan x的導數.

同理可得

(cotx)′=-csc2x; (secx)′=secxtan x; (cscx)′=-cscxcotx.

練一練

(1)已知 ,則y′=__________;

(2)已知 ,則y′=__________;

(3)已知 ,則y′=__________;

(4)已知 ,則y′=__________.

例6 求下列函數的導數:

(1);  (2)y=tan x+xsecx;  (3).

 (1)因為,故

(2)y′=sec2x+sec x+xsecx tan x=sec x(sec x+1+x tan x);

想一想

(1)[(2x3-1)lnx]′=( )ln x+(2x3-1)( );

(2)(3x3sin x)′=( )x2sin x+3x3( );

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